VIII. — Point d^ espèce supérieure dégénérant en point

de première espèce.

Donnons une dernière application des méthodes développées dans ce Chapitre en disant quelques mots de Téquation (*)

^ao) zz' = ixz ■+- 1,

qui appartient à la catégorie étudiée aux pages 60-64 [équation (i 5) où m» ^2 ma].

Posant 2 = a?*-|- 0, nous avons obtenu une valeur approchée de la branche d'intégrale ô qui prend en un point x^^ (supérieur à un certain nombre r) une valeur initiale C^ plus grande que 2 r^ (p. 60). Cette valeur approchée représente sur tout chemin direct (croissant ou décroissant) issu de Xq^ sauf à l'intérieur de deux cercles C| ,

€2 ayant respectivement pour centres les points x = iC^ x' = — iC,

et pour rayon p = 2r * |C| (p. 61). D'ailleurs la branche d'intégrale considérée ne présente aucun point critique à l'extérieur et sur le contour des cercles Ci, c^*

Appelons Zo la valeur (2) à l'origine de la caractéristique z issue de Xo avec la détermination x^ -h C^. Suivant notre méthode habituelle, nous allons chercher à déterminer les points critiques situés sur l'ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec la valeur initiale Z©.

Lemme. — Considérons l'équation (21) ZZ'=ïZ-f-i,

dont V intégrale générale est

(21) Z — -Lrlogfz.-h -àr) = x(x -h h) {h = const.).

< ^) Afin d'arriver à un résultat simple, nous prenons comme exemple une équation intégrable. La fonction a: de 9 = ^ — a?^ est en effet définie par une équation de Riccati que l'on sait intégrer.

(') Cette valeur croit indéfiniment avec C d'après l'égalité (36) de la page 63.

%4n fMxmmr, m.

Pour une valeur donnée de A. rmté«:rale < 22 » admet comme [K^inU critiques points 011 Z s'annule 1 les points

rj= lojr^- — h.

* Ces points (tous situés sur une même droite» convergent vers rinfini, et nous avons déjà décrit en détail ( § LV > le mécanisme des permutations qu'ils opèrent.

Considérons, en particulier, l'ensemble des caractéristiques

issues de l'origine avec une valeur initiale Z^. Pour cet ensemble, deux des points Tj/ seulement seront critiques (voir p. 86-87), soit les points y^^ et '/;i. Supposons de plus que, partant de o avec

Fîg. 5.

la valeur Zq, on décrive (dans le sens de la flèche) un contour fermé F entourant les points yjo, 'f\\ {fig, 5) : ce contour opérera (*) une

permutation unique, savoir la permutation (Zo, Z| ) qu'opérerait un lacet élémentaire décrit autour du seul point critique yjo. En d'autres termes, si nous appelons L le contour o, F, o', /, o {fig- 5) composé du contour F et d'un lacet élémentaire décrit autour de Tio) nous pouvons affirmer que la branche d'intégrale Z issue

de Vorigine avec la valeur Zq est holomorphe à L' intérieur de L.

(*) C'est ià une conséquence immédiate des résultais obtenus page 87, d'après

lesquels t\^ permute Z., et Z^, t\, permute Z^, Z,, etc. Il faut, il est vrai, pour que ces résultais s'appliquent à l'origine, que l'origine soit située d'un certain côté de la droite qui joint les points critiques t^-. Si elle était de l'autre côté, tous les pointit 7^^ seraient critiques pour l'ensemble de caractéristiques que nous considérons ( p. 87) ; mais cette circonstance ne saurait se présenter ici, car notre ensemble de caractéristiques, étant conforme aux résultats de la page 62, ne présente pas de points critiques à l'extérieur d'u/i certain cercle c.

CLASSIFICATION DKS POINTS SINGULIERS TRANSCKNDANTS. I03

Ces remarques faites, considérons Péquation auxiliaire ("23) ^^'=[(1 — ^)a7 -4- 2fx.r]iî H- I,

où ui est un paramètre variant de o à i . Cette équation coïncide avec l'équation (20) pour ul = i et avec l'équation (21) pour [jl = o. D'ailleurs les résultats des pages 60-64 lui sont applicables. Posant

donc

Pjj^(ar) = (i — ijl)xx -h [ix^,

déterminons C^ par l'égalité P^{j;) -{- C^= o qui donne

CJ== — X =C-, et appelons Zo,pL la valeur à l'origine de la caractéristique z^ de (23) issue de Xq avec la valeur initiale P{i.(^o) -h Cji. Nous savons que l'ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec la valeur Zo.pL ne présente aucun point critique à l'extérieur de deux cercles de centres ± iCp,j cercles qui coïncident avec les cercles C|, c^ définis page toi. Nous allons en conclure que l^ ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec la valeur initiale Zo,|i présente deux points critiques et deux seulement dans le cercle C\ .

Partant de o avec la valeur Zo^j/,» suivons dans le sens de la flèche {fig- ti) le contour fermé Oa^Csa!^0 composé du segment rectlligne oa deux fois parcouru et de la circonférence C\, Je dis que nous nous trouverons o/?^/'er une permutation unique, c^ està-dire la permutation qu^ opérerait un lacet élémentaire décrit autour d'un seul point critique r\Q^^*

En efl'et, donnons à Zo,o (= Z^ ), dans le lemme de tout à l'heure, une valeur telle que y\Q soit intérieur à c^ : d'après ce que nous avons vu, la proposition énoncée est bien vraie pour [x = o. Lorsque ensuite [x croît de o à i, le point critique rio^^ se déplace avec continuité à partir de r|„, sans sortir d'ailleurs du cercle C| (puisque, quel que soit [x, l'ensemble des caractéristiques que, nous considérons ne présente aucun point critique sur le contour de c< ). De plus, 7)0,11. est toujours [d'après la forme de l'équation (28)] un point critique simple de z^. Il en résulte que, si nous appelons / un lacet élémentaire issu de «i et décrit autour de 1^)0,(1, nous pourrons (lorsque [x variera) déformer ce lacet avec continuité de telle sorte que les caractéristiques qui s'annulent en yio,[jl ne présentent jamais aucun point critique sur le contour de /.

I04 CHAPITRE m.

Appelons alors L le contour a, , Ci, a'^, /, a< (y?^. 6) composé du contour C| et du lacet /, et considérons dans ce contour la branche d^ntégrale qui, au point ai, est égale à la caractéristique issue de O avec la valeur initiale Zo,(i.. Cette branche est holomorphe dans L pour [x = o, et, puisqu'elle n'est jamais singulière sur le contour L, elle reste holomorphe dans L lorsque [x croît de o à i . On en conclut que la permutation opérée par le contour C| équivaut à la permutation opérée parle lacet élémentaire /.

Imaginons alors que nous décrivions une série de tours sur le contour Ct dans le sens direct : nous nous trouverons opérer une série de permutations élémentaires (une par tour) autour des

f^ig. 6.

points viojIjl? ''lijiJLj ' ' "f ^^ si, après chaque tour, nous nous rendons à l'origine le long du rayon a^ o, nous y obtiendrons la suite des déterminations Zi^p^? ^2,1x5 .... Nous en concluons immédiatement que l'ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec la valeur initiale Z^^j^ présente dans Ci deux seuls points critiques rif(^^

et Yi(A+i),{i,.

Les raisonnements qui précèdent s'appliquent au cercle c< pour [jl£i . Nous pourrons faire les mêmes sur le cercle C2, et nous aboutirons alors aux conclusions suivantes, où l'on pourra faire [X = I :

1° U ensemble des caractéristiques (^)o issues de l'origine as^ec la valeur initiale Zo présente {dans le plan des x) quatre points critiques et quatre seulement, dont deux sont à V intérieur de Ci et deux à V intérieur de c^*

2° A partir de la valeur Zq, décrivons dans le sens de la flèche {fig' 6) un contour fermé, Li, ainsi composé : le segment ooxf le contour c^, le segment a^a^-, le contour C2, le segment a^o] décrire ce contour revient à opérer deux permuta-

lions élémentaires, la première autour d'un point critique 7)o,{i, situé dans c», la seconde autour d'un point critique 7\q^^ situé dans C2' Mais, d'autre part, l'ensemble des caractéristiques (:;)o pour lequel les points ïicpu '^l'cti ^^'^^ critiques ne présente aucun point singulier (p. loi) à l'extérieur des deux cercles Ci, Cj : par conséquent, xiécrire le contour L| ci-dessus défini revient à faire décrire à x un tour complet autour du point ûc z= ao. Je dis que l'ensemble des caractéristiques (z)o est holomorphe à V infini, en sorte que le contour L» nous ramène à l'origine avec 5 = Zo. Pour le vérifier (cf, p. loo), il suffit de se rappeler que &(= ,5 — ;r*) tend vers une valeur finie pour z égal aux caractéristiques (>3)o et X tendant vers l'infini (p. 63) : d'ailleurs (p. 60), 6 satisfait à l'équation différentielle

arî-f-e'

si l'on pose alors ^ = ^~*, le théorème de Gauchy montre que les intégrales 6 qui sont finies au point ? = o sont holomorphes au voisinage de ce point.

Ainsi le fait suivant se trouve établi : la permutation élémentaire opérée autour de r(^^}^ équi{>aut à la permutation élémentaire opérée autour de 'yio,{i- On obtiendra, dès lors, toutes les déterminations d'une même intégrale z en tournant autour des seuls points critiques ..., ïi-i,^., TQcfxj ''\\,^t ••• ^^ nous avons obtenus tout à l'heure. Ces déterminations se rangeant d'ellesmêmes en série unilinéaire, nous constatons que l'origine est, pour les équations (28 ) et (20), un point transcendant de première espèce. C'est un point de la seconde sorte et du premier type {voir p. 97).

Le Chapitre précédent a surtout fait ressortir l'immense multiplicité des cas que l'on aurait à envisager si l'on tentait une classification complète des points singuliers transcendants. Ayant jeté ce coup d'œil d'ensemble sur les routes à explorer, nous allons considérer, un moment, une famille de points singuliers aujourd'hui classiques : les points jadis étudiés par Briot et Bouquet ( ' ). Quelle est la place de ces points dans notre classification générale? Comment en retrouverons-nous les propriétés en nous plaçant au point de vue que nous avons adopté dans ces Leçons? Si l'on y regarde de près, on s'apercevra que les points de Briot et Bouquet appartiennent, en réalité, à des types très divers, types qui ne seraient pas comparables entre eux si leur étude n'avait été envisagée d'un point de vue très spécial (cf. Introduction, p. 3). Aussi n'est-ce qu'une classe de ces points que nous allons étudier, classe à la vérité importante.

Considérons l'équation différentielle

(0 ^ ^ ^ A3jK»-i- A2jK'-h A, j -4- Ao -+- A-ijK-» -h . . . = o,

équation qui peut encore s'écrire

(2) V = 2-1, 2^iî'= A3-I- A22 H- Ai32-|- Ao-3-^-f- A i.S*-|-

Supposons que l'origine soit un zéro simple du coefficient A3,

(*) Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles (^Journal de l'École Polytechnique, t. XXI, i856). Les points de Briot et Bouquet ont été étudiés par MM. Poincaré, Picard, Autonne, Bendixson, Horn, Dulac, etc. Consulter à ce sujet l'article de M. Painlevé dans V Encyclopàdie der Mathemat. Wissensch. : Gewôhnliche Differentialgleichungen, t. H,

le second membre de (2) étant d'ailleurs holomorphe au voisinage des valeurs o de :r et 5. Dans ces conditions, l'origine est, en général, un point singulier transcendant des intégrales z (voir p. 12). Nous allons nous proposer d'étudier l'allure de ces intégrales au voisinage de x =^ o.

Soient

A3 = 07 ( a H- ai .r -4- a2 a?2 -I- . . . )î Aa = P -H Pi^r -h. . ..

Lorsque a: et z sont tous deux très petits, les termes prépondérants dans l'équation (2) sont les termes 2zz'^ olXj j3s. Or, l'équation limitée à ces termes se trouve coïncider avec l'équation dont nous avons fait une étude détaillée aux pages 67 et suivantes. Nous prendrons donc cette équation

(3) 2ZZ' = %x -\- ^z

pour point de départ, et, d'après ses propriétés, nous distinguerons a priori divers cas.

Reportons-nous (p. ô-j) aux exposants

Al = — 2 -+- -^--« /2 =

2 W\ '1 Wf

<jui figurent dans l'expression de l'intégrale générale de l'équation (3). Nous avons vu que ces exposants satisfont à la relation

invariante

il en résulte que les parties réelles de Ai et X^ ^^ sauraient être toutes deux positives. D'où les cas suivants (0 (^^ symbole ^ signifiant partie réelle) :

(A) ^(Xi)>o. ,R(X2)<o :

1" \^ et.Xa complexes; 2" X^ et X^ réels irrationnels; 3" A< et X^ i'éels rationnels.

(B) ^(X,)<o, ^(XsXo:

(•) Il faut écarter le cas où l'on aurait Xj = oo, \= — i) car, en ce cas, a serait nul et l'origine ne serait plus un zéro simple de A3.

I® X« et ^2 complexes; a'* X< et X2 réels irrationnels ; 3° X« et X2 réels rationnels.

(G) Xi = X2=o.

Je me contenterai d'examiner ici les cas les plus simples et les mieux connus : ceux où )h et X2 sont complexes, et celui où ces quantités sont réelles et de signes contraires.