I. — Valeurs des caractéristiques à V origine

Pour étudier l'équation (2) lious aurons recours à l'équation auxiliaire

(4) izz' = ao?-!- P>5-f- [jl[(A3 — aa?)-!- ( A2— p)-3 H- Ai-s*-f-. . .]

qui renferme un paramètre [jl variant de o à i , et qui coïncide avec l'équation (3) pour [jl= o, avec l'équation (2) pour [jl = i. Nous étudierons (*), en premier lieu, l'allure d'une caractéristique aux environs de ^ = o. Puis nous déterminerons le mécanisme des permutations qui s'opèrent au voisinage de l'origine, et nous reconnaîtrons que ce mécanisme est exactement celui que nous avons décrit plus haut aux pages 74-76.

Commençons par l'étude des caractéristiques. Nous savons \yoir l'intégrale générale (3) de la page 74] que, pour [ji=o, les deux caractéristiques z de (3) qui s'annulent en un point critique x^ très voisin de l'origine restent très petites tout le long du rayon Xk o. De plus, lorsque les parties réelles <^(Xi) et,R(X2) sont négatives, ces deux caractéristiques sont différentes de o et holomorphes à l'origine; lorsque <iR.(X<) est positif, l'une des caractéristiques issues de x^ s'annule à l'origine comme xw^,^ l'autre est non nulle et holomorphe. Je vais établir que ces particularités subsistent quand le paramètre pi varie avec continuité à partir de o.

Pour Y- voisin de o, les caractéristiques z issues de X\ resteront

(•) C'est cette étude que nous avons appelée, au Chapitre II, Étude delà croissance d^une branche d'intégrale. Il s'agit de considérer les branches individuellement avant de passer à l'étude de leurs échanges.

1res petites au voisinage de l'origine, et il en seth ainsi tant que I pi 1^1, à condition que a:, soit intérieur à un cercle F de centre o

suffisamment petit. En effet, soit w un point de F : si, quelque près

de l'origine que soit x^ les caractéristiques considérées avaient

en X un module supérieur à un nombre fini A, il résulterait du théorème de Gauchy appliqué à l'équation (4) que ces caractéristiques seraient holomorphes autour de x dans un cercle de rayon fini; elles ne pourraient donc admettre comme point critique un point Xi arbitrairement voisin de l'origine. Ainsi, les caractéristiques z sont arbitrairement petites lorsque le rayon de F est luimême Assez petit; on peut donc toujours déterminer F de manière que le second membre de (4) converge absolument dans ce cercle pour z égal à l'une des caractéristiques qui s'annulent au point x^.

Faisons le changement de variable z = x \/^ de manière à mettre l'équation (4) sous la forme

(5) a;C = -2Ç-f-p/ÇHha--HL|^^i:i^+v/Ç(A,-P)-H...].

Les termes non écrits forment un développement (*) procédant

suivant les puissances de x\/^ = z^ lequel converge absolument dans F pour z égal aux caractéristiques que nous considérons.

D'ailleurs, — —j A2 — 8 et tous les termes qui figurent dans

les crochets contiennent x en facteur. Nous pourrons donc toujours prendre F assez petit pour que les caractéristiques Ç satisfassent dans ce cercle à l'inégalité

£ étant un nombre donné arbitrairement petit. Dans le cas particulier où |t^| serait borné, on pourrait de plus déterminer le rayon de F de manière que l'on ait dans ce cercle

h étant un nombre fini indépendant du rayon de F. Cela posé, soit d'abord «?A.(Xi) << o, ^(^2) <C o.

( * ) La somme de ces termes est de la forme : .r y/^ x développement par rapport aux puissances de z.

flO CaâPITBE IV

Considérons*, sur un ravon aboutissant à T origine, le dernier ( * ) point critique Xt présenté par une caractéristique ^. Le long do rayon x^n Hes extrémités exceptées > les théorèmes de continuité sont applicables à la caractéristique ^. Or, nous savons que, pour pi = o, ^ est infini et méromorphe à l'origine. Je vais en conclure qu'//^/î est encore ainsi pour ;jl réel et voisin de o. Plus généralement, je dis que, si la proposition est vraie pour jx <;-■■'< •elle ne saurait cesser d'être vraie pour u = uf.

En effet, on suppose que, pour «x == jx' — e (e arbitrairement petit), la caractéristique ^ 'qui admet X| comme point critique^ est infinie à l'origine et holomorphe au voisinage de a: = o le long de J7| o ; dès lors on peut déterminer un nombre p tel que l'on ait sur XtO, pour | j: | <^ p et [x = ;jl',

H étant un nombre donné arbitrairement grand. Partons d'un point j: de J7i o où l'on ait cette inégalité : on aura sur xo

3 étant arbitrairement petit avec p, et, dans ces conditions, l'inégalité (6) donnera

Intégrons entre j? et o : nous obtiendrons

Tlog C -f- logar*! *1 < ô [log I ^ il ! •

Or, lorsque x' tend vers o [x restant fixe), logj;^ 1 est très

grand par rapport à 8 log|j;|| : l'inégalité obtenue exige donc

que logÇ, et par suite ÎJ, deviennent infinis à l'origine tandis que ^x reste fini. c. q. f. d.

Soit maintenant ê{.Çki ) > o, ^(^2) <C o.

Nous savons que, pour [jl = o, l'une des caractéristiques ^ issues

(^) Le plus rapproché de l'origine.

de Xi est infinie à l'origine. La démonstration précédente prouvera donc qu'il en est encore ainsi quand [x croît à partir de o.

Considérons, d'autre part, la caractéristique ^^ qui pour[jL=o tend vers la valeur finie (vj. Tout le long de XiO celte caractéristique est une fonction continue de [x au voisinage de pi = o. Nous pouvons donc déterminer le rayon de F et les nombres p et ul' de manière que pour Xi intérieur à F et [jl^[jl' on ait, lorsque | x| <; p,

e étant un nombre donné arbitrairement petit. Prenant alors (Ji£[jl', considérons sur Xi o un point x arbitrairement voisin de l'origine, où ÇjjL prenne la valeur Ç voisine de (v^, et appelons w^ (le long de xo) celle des caractéristiques de l'équation

(8) :pÇ' = __2Ç HPv^^a

qui est égale à Ç au point x. Toujours en vertu des lois de continuité, cette caractéristique (v^ à l'origine est voisine de (vj ; elle y est donc égale à iv^^ [puisqu'elle ne saurait être qu'infinie ou égale

à (vj (p. io8)]. D'ailleurs, on aura sur xo,

(9) Iw'— «'iKe',

e' étant arbitrairement petit en même temps que e.

Posons maintenant l^^=iv^-\-^. Nous pourrons remplacer y/^

par le développement

Bî

lequel converge pour 8 voisin de o.

En particulier, nous pourrons toujours prendre e assez petit pour que les inégalités (9) et

entraînent ( * )

(•) On le vérifie en développant, par rapport aux puissances de (tv — tv,), les

coefficients — » — - — r du développement de vCT- 2tV 8tv* **

D^ailleurs, \^^\ est par hypothèse fini sur x^o. Dès lors, on peut déterminer le rajon de F de manière que Ton ait sur xo l'inégalité (7). Et, par conséquent, si Von a pris x assez petit

pour que hx soit inférieur à > on aura le long Ae xo

^!:(. + a ïi.- P f «- + ^) - « I < V^'

Si, maintenant, nous nous rappelons que cv- satisfait à l'équa-

tion (8), que t^^i. = çv- + et que X< = — 2 + -;^y nous pourrons écrire ce résultat sous la forme

(II) |are'— X,Ô!<Ôv/£'

ou

dx

<8/?|ar-(i-^>i^ |,

L'inégalité (11) sera satisfaite le long de xo à condition que l'inégalité (10) soit elle-même satisfaite sur ce chemin. Or 8 est

nul au point x. Donc (10) est satisfaite au voisinage de x sur un certain segment xx' Aq xo. Intégrons l'inégalité (i i) le long du segment xx^ , Tout le long de ce segment on a

(u étant un nombre positif constant. Dès lors, nous aurons, puisque

^(^i)>o et 8(^) = o,

|a?'-^6(a:')|<Sv^.a> / \x\-'^'^^\^d\x\

Il est clair que, si e' et x (par suite 57') sont assez petits, cette inégalité entraîne, a fortiori, l'inégalité (10). On est donc conduit à une contradiction (* ) en supposant que l'inégalité (10) cesse d'être satisfaite en x^ \ en d'autres termes, les inégalités (10) et (11)

sont vérifiées tout le long de xo^ et X^^ — (v^^est inférieur à S à

(') Raisonnement déjà employé p. l\it\, 49*

l'origine. Ce résultat est valable d'ailleurs, quelque petit que soit x.

Or, si nous faisons tendre x vers Oy nous poui^ons prendre 8 de plus en plus petit. Donc X^^ est nécessairement égal à fvj pour X =^o.

Cette démonstration établit que, si l'on a ^^^(o) = wj pour (i. = o, on a encore cette égalité pour [jl^jjl'. De proche en proche, elle établira que Ç|jl(o) reste égal à (v*^ tant que [jl^i. c. q. f. d.