II. — Etude du cas ^(X«)>> o, ,^(X2) <C o
X| et )v2 complexes.
Considérons l'ensemble des caractéristiques z de l'équation (4) issues de l'origine avec une valeur initiale a voisine de o.
Lorsque [jl = o, cet ensemble jouit de la propriété suivante, mise en lumière par l'analyse de la page 72 : il ne présente dans tout le plan qu'«//i point critique x^^ d'autant plus rapproché de l'origine que a est plus petit.
Les lois de continuité, applicables partout sauf au voisinage de l'infini (*), montrent que la propriété subsiste pour [jl voisin de o. On peut donc trouver un cercle F de centre :r = o et des nombres |ji<, a< tels que, pour ||ji|<^[jl^ et |a|<C««, V ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec la valeur initiale a ne présente qu* un point critique dans le cercle F.
Traçons un cercle y concentrique à F, contenu dans F, mais
contenant a:<. Soient, d'autre part, x un point fixe et z la valeur
en X de l'une quelconque des deux caractéristiques issues du point x^ avec la valeur critique o. Nous allons chercher une
expression analytique qui représente z pour les valeurs de x comprises entre les cercles y et F. (Nous prendrons F assez petit (2) pour que le second membre de l'équation (5) converge absolument en un point quelconque x du cercle F pour z = 2: et | pi | ^ i .) Nous remarquerons d'abord que, si [jt.| et | ^^ | sont suffisam-
(^) Il n'y a pas à s'occuper de l'origine, puisque les caractéristiques considérées y sont holomorphes (si a n^est pas nul). (^) Cela est toujours possible d'après les remarques de la page 109.
ment petits, la valeur initiale z sera [pour | [x | <; [jl< ) très voisine
de iV2X, Reportons-nous, en effet, à l'intégrale (3) de la page 70, qui n'est autre que l'intégrale générale de (4) pour ul=o. Afin d'obtenir des caractéristiques qui présentent des points critiques arbitrairement près de l'origine, il faut, dans cette intégrale, donner à la constante C des valeurs de plus en plus grandes ; or, l'égalité (3) de la page 70 montre que, lorsque |C| croît indéfiniment, w tend vers (Vo quel que soit x.
Donnant alors à | [x | une valeur quelconque inférieure à [jlj, prenons l'équation (5) et faisons-y
En développant y/Ç par rapport aux puissances de u et nous rappelant la valeur de )v2î nous mettrons l'équation (5) sous la forme
(12) xu' = XîM -H e^fiX -h eiQX^-\- e^xu -f- eojw'-t-. . . ,
les e étant des coefficients que nous nous dispenserons de calcu-
1er. Appelons u la valeur initiale (voisine de zéro) w = = fVj.
Le second membre de (12) converge absolument pour u voisin de zéro et pour x intérieur au cercle F ; il converge, par conséquent,
pour X et u voisins de x et u.
Cela posé, introduisons l'équation auxiliaire
(r3) 07^' = X2W -h vfeioa? -f- ejo^^-H. • .],
011 V est un paramètre que nous ferons varier de o à i.
Le coefficient différentiel w' est une fonction holomorphe des
trois variables x^ w, v, pour u voisin de a, et pour x voisin de o
et X mais non nul. Dans ces conditions, les théorèmes de continuité permettent de développer par rapport aux puissances de v (autour de l'origine, sinon en son voisinage immédiat) l'intégrale u
de (i3) qui est égale à u au point x. Cette intégrale sera de la forme
(14) w = aiv -h a2V^4-. . . ,
et les coefficients u (voir p. 3^) seront déterminés par les équa-
POINTS SINGULIERS DE BRIOT ET BOUQUKT. Ïl5
lions différentielles linéaires
I X u\ = X2 Ml -+- termes en rr, a?^, . . . ,
xu.\ = XjMj-t- termes en xu\^ x^u\, . . . , (i5) {
xu'^ = XiWa-h termes en u\^ xu\^ . . . , xu^^ . . . ,
les seconds membres de ces équations étant, par rapport à U\^ 1121 . . . , Aes polynômes dont les coefficients sont convergents tant que le s^econd membre de (12) est lui-même convergent. La première équation (i5) admet l'intégrale générale
Ml = Aa7^a-ha7[/io-f- /lia? -h. ..] {h constante arbitraire),
la fonction entre crochets étant holomorphe (*) dans le cercle F. Portant cette valeur dans la seconde équation (i5), nous obtiendrons l'intégrale générale
h\ étant une constante arbitraire et les fonctions entre crochets étant holomorphes dans F. Mais nous avons le droit de supposer que h\ est nul, de même que toutes les constantes arbitraires qui figurent dans les développements de W3, «4, etc. En effet, il est clair qu'il nous suffit de conserver dans l'expression générale (i4) de l'intégrale u une seule constante arbitraire h ; cette constante sera déterminée de manière que u prenne une valeur initiale
donnée (*-) u en un point donné x. En poursuivant alors notre calcul, nous vérifierons sans peine que Ws est de la forme
et, d'une manière générale, que Uk est de la forme
les fonctions entre crochets étant holomorphes dans F.
(^) Le calcul qui donne l'intégrale générale de la première équation (i5) montre en eiïet que la fonction l^^-^ l^^x -\-. . . converge autour de a? = 0, dans le cercle où le second membre de l'équation est lui-même convergent. De même plus bas pour les diverses fonctions qui sont entre crochets dans l'expression de Uf^.
(^) La valeur de x\y et par suite celle de /i, ne sera déterminée qu'à un multiple de 2 6^*'^^» près. Pour la déterminer tout à fait, nous supposerons que dans
x\= e^9^**K' on prenne pour log^zr la détermination de plus petit module.
Il6 CHAPITRE IV.
Donnons en particulier k z on k u (== w^] une valeur
répondant aux conditions énoncées page ii3, en sorte que l'ensemble des caractéristiques issues de j; avec la valeur u ne présente aucun point en tique dans la couronne circulaire 2 limitée par les cercles y et F. Alors, d'après les lois de continuité, le développement (i4) reste absolument convergent dans la couronnes, quel que soit v entre o et i . On en conclut que ce développement est une fonction holomorphe des trois variables v, J7, hx^ pour | v | £ i , X situé dans F, et | hx^* | inférieur à un certain nombre o-. En particulier, pour v= I , /a branche d'intégrale définie par la valeur
initiale u est développable, dans la couronne S, par rapport aux puissances de x et hx^^.
Lorsque h prend la valeur particulière o, le développement (i4) converge dans tout le cercle F, et représente une intégrale particulière U qui est nulle à l'origine et holomorphe dans F. Nous
appellerons Z, (= x^ w\-\-\}) l'intégrale correspondante (nulle et holomorphe à l'origine) de l'équation (4).
Soit maintenant h différent de o. Lorsque ^, dans la couronne 2, décrit un tour autour de l'origine, hx^t change de valeur : plus précisément, la constante h est multipliée par g-^'^^s. Supposons, pour fixer les idées, que le coefficient de i dans X2 soit positif, et tournons dans le sens direct : alors, à chaque tour, le module de h décroît, et le développement (i4) ne cesse pas d'être convergent. D'ailleurs, lorsque x tourne ainsi indéfiniment autour du cercle y,
h tendant vers o, la valeur z de z au point x tend vers la valeur Z< yx) que prend en x V intégrale particulière Z|.
Nous avons établi ces divers résultats en donnant à | |ji| une valeur comprise entre o et [Xi. Avant d'aller plus loin, montrons que ces résultats resteront valables tant que | [x | ^ i .
Soit /• un nombre tel que u [donné par le développement (i4)] soit une fonction homolorphe de x^ hx^t^ [jl et v pour ] ^ | -< 'S I hx^^ I <^ ''î I (^ I *^ P"-* et I V I ^ v' ^ I . Il est clair ( * ) que, r restant
(*) Les paramètres (x et v jouent ici le même rôle, et nous aurions pu nous contenter d^introduire un de ces paramètres au lieu de deux; mais il est commode de se servir tantôt de l'un, tantôt de l'autre, suivant les besoins du calcul.
POINTS SINGULIERS DE BRIOT ET BOUQUET. l\?
fixe, [JL| pourra être pris d'autant plus grand que V sera plus petit. D'ailleurs, lorsque la limite ijl< tendra vers i, la limite v' tendra vers une limite différente de zéro (*) : on peut donc trouver un nombre V| tel que u soit holomorphe pour |x|<;r, \hx^t\<C. r^ ([j.|<i et|v|<v,.
Reportons-nous alors à l'expression de Uk (p. ii 5) et appelons M>t la plus grande valeur prise, pour | j? | < / , par l'expression
Puisque u est holomorphe, la somme des modules des termes (en j:, /t'i et v) du développement (i4) est convergente dans les limites que nous nous sommes assignées ; nous sommes donc assurés que la
série \] M;t(rv<)* est une série convergente : nous en concluons
que le développement (i4) reste convergent tant que |v(^i, I j: I <; /Vi , I hx^i I <; rv< .
Convenons en particulier de toujours prendre pour valeur
de e^'^^^^' celle qui correspond à la plus petite détermination du logarithme. Alors, nous aurons ce résultat : pourvu que H soit
ASSEZ PETIT, ON PEUT DÉTERMINER DES NOMBRES /'' ET /'"(/•'<; r" ^ r) TELS QUE (quels QUE SOIENT | [JL | ET | V | COMPRIS ENTRE O ET l) LE DÉVELOPPEMENT (l4) HEPRÉSENTE UNE FONCTION HOLOMORPHE DE X ET /iX^t POUU r' <i\.Jc\ <^ /' ET I A I <] H.
Partons maintenant du pointa? (r'-^C^ | .r |<; r") avec une valeur initiale (-) u assez voisine de U(.r) pour que la valeur correspondante de h ait un module inférieur à H; puis tournons indéfiniment autour de l'origine dans la couronne de centre o oà r' <i\x\<C r'^- Si nous tournons dans un sens convenable h décroît indéfiniment (p. 1 16); donc le développement (i4) ne cesse pas de converger, et z tend vers ^intégrale particulière Z^.
(*) Pour V = o, les intégrales m de (i3) ne présentent aucun point critique en dehors de l'origine et de l'inlini. Il est donc impossible que le développement (i4) cesse de converger pour v = o, | a: | = r, | kx\ | ^ r.
(^) Cette valeur est déterminée uni voquement d'après la notes de la page ii5; ea
particulier, à la valeur u de U(x) correspond la seule valeur o de A.
ij8' CHAFITRE IV.
Les caractéristiques issues de x avec la valeur u ne peuvent par hypothèse présenter des points critiques de module inférieur à /' si ce n'est à l'intérieur du cercle F' de centre o et de rayon r'. Combien en présentent-elles?
Donnons-nous à l'origine une valeur initiale a voisine de o, à laquelle nous ferons correspondre (comme nous l'avons expliqué
page 1 13) des valeurs déterminées ^, w de >3 et u au point x^ et, par suite, une valeur déterminée de A. Pour que h soit nul, il faudra que a soit nul également; déterminons alors, autour de a = o, une région A telle qu'à une valeur de a située dans A corresponde une valeur de h de module inférieur à H. Lorsque a variera dans A,
les valeurs correspondantes de z^ u^h engendreront des fonctions continues de a. D'ailleurs, ces fonctions seront uniformes : en
effet, quel que soit a dans A, x sera, nous l'avons vu, un point
d'holomorphisme pour l'intégrale z égale à 5 au point ^ ; il ne
pourra donc pas arriver que deux déterminations de z(cl) viennent se confondre.
Cela dit, considérons l'ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec une valeur a située dans A. D'après ce que nous avons vu page ii3, on pourra toujours trouver un nombre [jl^ tel que, pour jji réel et inférieur à [jl^, l'ensemble considéré ne présente qu'tt/i point critique dans le cercle F' de centre o et de rayon r' [et par conséquent, dans le cercle concentrique F" de rayon /", puisque le développement (i 4) est, par hypothèse, holomorphe entre F' et F"]. Supposons alors que pour [ji^jjii cet ensemble présente plusieurs points critiques dans F' : il faudra^ d'après les lois de continuité, que pour [jl= (jli il ait des points critiques sur le contour même de F', par conséquent, que pour a= [jLi — e il ait des points critiques situés entre F' et F" et voisins du contour de F'. Cette circonstance ne se présentant pas, nous pouvons conclure que, quel que soit [jl entre o et i, C ensemble des caractéristiques issues de C origine avec une valeur initiale a située dans A ne présente qu\in point critique dans F'.
Jusqu'ici, le mécanisme des permutations opérées au voisinage de l'origine est le même pour l'équation réduite (3) et pour l'équation (2). Cette similitude va se manifester encore dans Fétude que nous allons faire des permutations opérées directement autour de l'origine.
Prenant [jl quelconque entre o et i, reportons-nous de nouveau à l'équation (5) et posons
de manière à mettre l'équation (5) sous la forme
(17) xt'^z'kit -h diQX -f- d^QX^-\- diiXt -\- dott^-h
11 résulte du paragraphe précédent (p. 1 13) que l'une des caractéristiques t issues d'un point critique Xi voisin de o est nulle à l'origine (Ç étant égal à w'^^), Nous allons étudier cette caractéristique t.
Prenons un point x sur x^ o et soit t la valeur en x (valeur voi- " sine de o) de la caractéristique t. Je dis que l'ensemble des
CARACTÉRISTIQUES ISSUES DE X AVEC LA VALEUR INITIALE t EST ' REPRÉSENTABLE AU VOISINAGE DE l'oRIGINE PAR UN DÉVELOPPEMENT
^ PROCÉDANT SUIVANT LES PUISSANCES ENTIERES DE X ET DE CX^t
it (c étant une constante arbitraire).
Considérons, en eflet, l'équation auxiliaire
'^ (18) xt'=zlit-+-v[diQX-^,..]^
pl où V est un paramètre variant de o à i , et étudions l'ensemble des
i' caractéristiques issues de x avec une valeur initiale t voisine de o.
le Pour V = o, cet ensemble ne présente aucun point critique, l'ori-
le gine exceptée. Dès lors, pour v voisin de o, il n'aura aucun point
y critique dans une couronne circulaire de centre o (soit lorsque
1- P< <^ I ^ I <^ P'n ?i étant arbitrairement petit si | v | est inférieur à
un nombre v< assez petit.
l5 Procédant alors comme à la page 11 4, nous pourrons repré-
ar
UJ
it ur
senter l'ensemble des caractéristiques C par un développement
(19) t = ^V-+-ijV2-f-...
/c absolument convergent pour|v|<v<, ?«<|^|<Pr D'ailleurs,
/,' les tk (p. ii5, éq. i5) sont des polynômes en cx^t [c constante
arbitraire déterminée (*) par la valeur initiale 1] dont les coeffi-
(*) Voir page ii5, note 2. La valeur de c sera entièrement déterminée en fonction de la valeur initiale t si nous convenons de prendre (au point x) dans x\= e\W' la plus petite détermination du logarithme.
cients sont des fonctions, holomorphes dans F, nulles pour a: = o. Je dis que le développement (19) (convergent pour p< <[ |j:| < p', ) convergera a fortiori pour |ar|<;pi. Traçons, en effet, le cercle y< de centre o et de rayon p< ; menons une coupure suivant un rayon de ce cercle; puis, partant du contour de yi avec la détermination (19), faisons mouvoir x dans yi sans franchir la coupure. Dans ces conditions, considérons la variation de la
somme ^|^avJ], et appelons N la plus grande valeur prise par
cette somme sur le contour de y< . S'il arrivait qu'en certains points de yi la somme S fût supérieure à 2N par exemple, il existerait nécessairement à l'intérieur de yi un contour fermé, ne renfermant pas l'origine, sur lequel S serait compris entre N et 2N, et dans lequel S dépasserait 2 IN. Mais cela est impossible, car, en ce cas, S deviendrait infini dans y^, ce qui n'a pas lieu. [S s'annule à l'origine, puisque ^(X|)>>o.] Donc S est inférieur à 2N dans tout yi, et, puisque N reste fini quand n croît indéfiniment, la
somme \] est convergente pour |x|<;p,, |v|^v,. On en conclut
que le dé\>eloppement (19) est une fonction holomorphe des trois variables v, x etcx*"^ pour | v | ^ V| , | ;r | <; p^ et | c:r^i | inférieur à un certain nombre <t.
Appelons en particuliers le plus petit des deux nombres p^ et<j. En procédant exactement comme à la page i 17, nous démontrerons que le déy^eloppement (19) restera convergent tant que |v \^\ ^ pourvu que |^ | << ^v,, | cx^^^ | <;5v^.
Cela dit, partons, avec une \aleur initiale ^, d'un point fixe x intérieur au cercle Y ^ de centre o et de rayon 5Vi, et supposons \x\ et I ^ I assez petits pour que la valeur de c définie par ces conditions initiales satisfasse à l'inégalité (*) | c^p^t | <^ ^Vi. Lorsque x décrit dans le cercle F^ un tour complet autour de l'origine, la constante c est multipliée par g— ^^tiX,^ Supposons, pour fixer les idées, que le coefficient de i dans \^ soit positif. Alors, lorsque
nous tournons indéfiniment autour de l'origine dans le sens direct, ,
( >) La valeur de x\ étant fixée par la note précédente. 1
^^^- c tend vers o; dans ces conditions, le développement (19) ne cesse
^ < pas de converger, et t tend vers Tintégrale particulière T obtenue
uri-i
en faisant c = o dans (19). Cette intégrale est holomorphe dans tout le cercle T^ : nous appellerons Z l'intégrale correspondante de l'équation (4) en z.
it Qu'arriverait-il si nous tournions, au contraire, autour de l'ori-
1 ir gine dans le sens indirect? La constante c augmenterait alors
indéfiniment, et il serait aisé de vérifier que le cercle de conver- '■''I gence du développement (19) tendrait vers o. Si nous continuions
à tourner indéfiniment, nous obtiendrions des caractéristiques z présentant des points critiques de plus en plus rapprochés de l'origine et convergeant, par suite, vers l'intégrale particulière Z|, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut.
Vf
Nous pouvons résumer en deux lignes l'ensemble des conclusions de ce paragraphe : le mécanisme des permutations qui s'opèrent au voisinage de l'origine pour une intégrale de l'équation (4) est exactement le mécanisme décrit à la
page 72. Soit X un point arbitrairement rapproché de l'origine. Nous constatons que l'ensemble des déterminations obtenues au
point X peut être représenté par le Tableau suivant (*) :
. , . , -5—1 ; <2o î -^lî • • • î
•^—1,1» •••! ^— l,Ar i> ^0,lî •••> ^l,Ii •••î -5—1,1? •••> ^-\,k^^\ ^O.lî •••> ^l,lî ••••
La première ligne contient les déterminations qui s'annulent pour j; = o et se permutent autour de l'origine. La dernière ligne contient les déterminations qui ne s'annulent pas pour ^ = o. De plus, chaque détermination Zjj^ se permute avec la détermination Zj correspondante autour du point critique Xj i^ inscrit audessus d'elle dans la seconde ligne. Si nous nous référons alors aux définitions de la page 96, nous pouvons dire que, pour
(^) Lorsque la partie réelle de ^ est comprise entre i et 2, il correspond à chaque détermination z une détermination z au plus (0/. p. 71-78).
I'Jt2 CHAPITRE IV.
l'équation (4), l'origine est un point transcendant de première
ESPÈCE, de la première SORTE ET DU SECOND TYPE.
