III. — Étude du cas ^(X,) > o, ^(^2) <C o, X| et X^ réels

Dans l'hypothèse où X| et X2 sont réels, il convient de distinguer deux cas suivant que ces quantités sont irrationnelles ou rationnelles.

En premier lieu, supposons X| et X2 irrationnels. Tous les calculs que nous avons faits au paragraphe précédent subsistent alors sans modifications. Mais l'une des conséquences principales que nous avions tirées de ces calculs se trouve être en défaut : les intégrales 2, développables par rapport aux puissances de x et cx^^ et par rapport aux puissances de x et hx^t, ne tendent plus vers les intégrales particulières Z et Z,. En effet, pour Xj et X2 réels irrationnels, les expressions e-*''^^i, e^*'^^î (où l'entier k prend des valeurs de plus en plus grandes) conservent des modules constants, tandis que leurs arguments tendent vers toutes les valeurs réelles.

Prenons alors un point fixe x voisin de o et une valeur de c telle que le développement

( -20) 22 ajyxJ{cx\ )/'

de z par rapport aux puissances de x et coc^^ soit absolument convergent pour l:r|^|.r|. Puis considérons dans le plan des z les points de la courbe représentée par l'égalité

(21 ) zÇc) = 22ayy' ï/(| c I e^^Xx^-'Y

lorsqu'on fait varier o) de o à 2ir par valeurs réelles. Le développement (21), restant absolument convergent pour les valeurs considérées de (O, est une fonction uniforme de cette quantité. Il représente donc, dans le plan des z^ une courbe fermée entourant ^^O; et, LORSQUE X^ SUR LE CONTOUR DU CERCLE a7=|a7|, TOURNE INDÉFINIMENT AUTOUR DR l'oRK^INE, LA DÉTERMINATION INITIALE Z\X) SE PERMUTE AVEC UNE INFINITÉ DE DÉTERMINA- TIONS Z\\X)^ Z<i\x)^ ... QUI CONVERGENT VERS TOUS LES POINTS

DE CETTE COURBE FERMÉE (21 ). Si cnsuitc Dous faisoiis croîtrc I C I, nous obtiendrons une série de courbes (2 1 ) s'emboîlant les unes dans les autres et se rapprochant de plus en plus de l'origine : à chacune de ces courbes correspondra une branche d'intégrale différente; pour c = o, nous retomberions sur l'intégrale particulière Z.

On déduirait aisément de là que les points critiques xj d'une intégrale z^ situés (au voisinage de l'origine) sur les caractéristiques issues de :r avec les déterminations zjyx)^ ne convergent plus vers x = o comme il arriviait au paragraphe précédent : ces points critiques cons^ergent vers tous les points d'une petite courbe fermée entourant l'origine.

Nous n'insisterons pas sur ce cas, qui nous met en présence de circonstances toutes nouvelles; car nous avons toujours admis jusqu'ici que les points critiques d'une même branche d'intégrale convergeaient vers un point-limite unique.

Supposons maintenant que X| et À2 soient rationnels et reportons-nous à l'équation (ir) de la page 1 19,

(17) z = xy/w\-\- t, xt' =^11-^- dxQX -\-

équation qui nous a permis d'étudier les caractéristiques z nulles à l'origine. Nous examinerons seulement le cas où X| = 1 : on n'aura pas de peine à traiter de la même manière le cas général; d'ailleurs, il serait aisé de vérifier (*) qu'il existe toujours un changement de variables rationnel permettant de transformer une équation (i^) où X, est réel rationnel en une équation (17)

où X| = I . Soit donc A|= 1 et :

Premièrement : <i|o= o. — Je dis que l'équation (22) xt'= t -h dto^^-^ duxt -^do^t^-h, . ,

ADMET UNE INFINITÉ DE CARACTÉRISTIQUES NULLES ET HOLOMORPHES A l'origine ET FONCTIONS HOLOMORPHES d'uN PARAMETRE C.

(*) Voir les Ouvrages cités page 106, note i.

I2| CBAPIT&E ir.

En eflet, cherchons à satisfaire à l'équatioii (22) en posant

('l'if / = r^iX-f- r,jX*-«- .

Nous vérifions immédiatement que Th reste arbitraire et que les coefficients r^2j t^, . . . sont déterminés par les égalités

Sr^a = Tjj-r- fonction de r,|, r,»,

Ainsi, nous pouvons déterminer formellement le développement (28; lorsque nous nous donnons une valeur arbitraire de T||. Je dis que, quel que soit 7^1, ce développement est une fonction holomorphe de x et 7^1 au voisinage de x = o. En effet, supposons le développement (23) ordonné par rapport aux puissances de X et.de r^iX : nous n'avons qu'à reproduire textuellement la démonstration des pages 1 19-12** pour constater que le développement (23) est convergent pour \x\ et |tj,^| inférieurs à un certain nombre a. On voit ainsi que, dans les con'ditions où nous sommes placés, l^ origine n'est plus un point singulier transcendant pour Inéquation (4).

Les branches d'intégrales nulles à l'origine sont, disons-nous, fonctions holomorphes d'un paramètre 7j|. Au lieu du coefficient 7j4, on pourrait, si l'on voulait, prendre comme paramètre la valeur C prise par les branches considérées en un point fixe voisin de l'origine.

Soit maintenant :

Deuxièmement : d^Q^o, — Je dis que l'équation

(24) xt' = t -\- dxQX -\- d^QX^-^, . .

ADMET UJVE INFINITÉ DE BRANCHES d'iNTÉGRALES NULLES A l'oRI- GINE ET DÉVELOFPABLES, AU VOISINAGE DE l'oRIGINE, PAR RAPPORT AUX PUISSANCES DE X ET DE d^^xlo^X.

Considérons, comme nous en avons pris l'habitude, l'équation auxiliaire

(25) a?^'= ^ -h v(û?ioa7 -h. . .).

Nous savons que l'ensemble des caractéristiques t issues d'un

POINTS SINGULIERS DE BRIOT ET BOUQUET. l'iS

point X voisin de l'origine avec une valeur C voisiné de o est représentable par un développement de la forme

(26) t=z iiv-4-f,v«-h...

absolument convergent pour |v| <;vi, pi<C\x\<ip\ ('i^oir p, 119).

D'ailleurs, les t/ç sont déterminés (cf. p. 11 5) par les équations

linéaires

xt[ = ^1 H- diox -4- diQX^-i-. . .,

xt'^ = tt-h termes en xtt^ x^ti, . . . ,

et l'on en déduit (cf. p. 1 1 5) que les tff sont de la forme

ti = dio^^ogx -+- x{c -\- liix -h, . .) (c = const. arbitraire), ti ^ x(diox\ogx) {l'iQ-h lmia;-+-..,) -t- x^(lio-i- liix -h. ..)^ î

(.fgz= X^{lkO-h...) -^ X^-^ (dioX iogx) {l'f,Q-i- , . .) -h . . .

-4- ar(c?ioa?logar)*-H/iJ-*^H-. . .).

Dans ces développements, les coefficients / dépendent de la constante arbitraire c. Convenons, en particulier, de prendre

comme valeur initiale de logj; la plus petite détermination de ce logarithme. Alors la valeur de c sera entièrement déterminée par

la valeur iniale t.

Les fonctions t/^ s'annulent toutes à Torigine. On en déduit,

comme à la page 120, que le développement (26) (convergent

pour Pi <; |:r I <; p'j, lorsque la valeur initiale t est assez petite) converge, a fortiori, pour |:r|^p4. Donc le développement (26) est une fonction holomorphe des trois variables v, x et dtoxlogx pour |v|^V|, \x\ et |âf|o^logj?| inférieurs à un certain nombre /'. Appelons alors Myt la plus grande valeur prise pour | ^ | <C ''i par l'expression

En raisonnant comme à la page 1 17, nous constatons que la série ^ Ma(/'Vi)* est une série convergente, et nous en concluons que

le déi^eloppement (26) reste convergent tant que |vj^i, |^|<C^V|, |«^io^log^ I <; rV|. La proposition énoncée esl donc démontrée.

Si maintenant, partant du point x avec la valeur initiale t^ nous

décrivons une série de tours autour de l'origine, logx prend, après chaque tour, une valeur nouvelle, et nous obtenons ainsi

en X une infinité de déterminations qui se permutent directement entre elles autour de l'origine.