IV. — Élude du cas ^(X|)<Co, ^(Xa) < o

X| et ^2 complexes.

Nous allons examiner rapidement ce cas à titre de dernier exemple.

Considérons l'ensemble des caractéristiques z de l'équation (4) issues de l'origine avec une valeur initiale a voisine de o. Lorsque [jL = o, cet ensemble jouit de la propriété suivante mise en lumière par l'analyse de la page 70; il ne présente dans tout le plan que deux points critiques ^r^, X2, d'autant plus rapprochés de l'origine que a est plus petit. Dès lors, en vertu des lois de continuité (comparez p. 1 13), on peut trouver un cercle F de centre x^=o et des nombres |i.|, a, tels que, pour | [ji | <; jjli et | a | < aj, l'ensemble des caractéristiques de (4) issues de V origine avec la valeur initiale a ne présente que deux points critiques x^^ Xo dans le cercle F.

Traçons un cercle y, concentrique à F, contenu dans F, mais contenant x^ et x^- Nous nous proposerons de trouver une

expression analytique qui représente, pour les valeurs de x comprises entre y et F, l'une ou l'autre des deux caractéristiques issues de x^ avec la valeur critique o.

Remarquons d'abord que, si [jl = o et si | :r< | est très petit, l'une des caractéristiques considérées est très voisine de w^x entre y et F, tandis que l'autre est très voisine de W2X, En effet, pour les caractéristiques qui présentent des points critiques arbitrairement près de l'origine, la constante C de la page 68 est arbitrairement grande; or l'égalité (3) de la page 68 montre que, lorsque |C| croît indéfiniment, une caractéristique w issue de x^ avec la valeur o

tend (en un point quelconque x)^ soît vers fv<, soit vers (V2. De cette remarque il résulte, par continuité, que, si [Xi et | ^1 1 sont

suffisamment petits, les valeurs initiales \z^z) au point x des deux caractéristiques que nous étudions sont respectivement

voisines de WxX et w^x.

Considérons, par exemple, la seconde caractéristique et posons

(-27) Ç = — =«;|-ha.

Tous les résultats obtenus aux pages i i4-i 18 subsisteront ici sans modifications. L'équation (4) se transforme en l'équation (12) et la branche d'intégrale u de cette dernière équation, qui prend au

point X une valeur initiale u voisine de zéro, est développable (dans une couronne circulaire) par rapport aux puissances de x et de A^^*- [développement (i4)]' Pl^s précisément, on peut déterminer un nombre H et des nombres r',/' {inférieurs au rayon de r) tels que [quel que soit | tx | compris entre oet i) le développement (i4) {où l^ on fait v = i) représente une fonction holomorphe de x et hx^* pour r^ <c\x\<Cr" et | /* | <[ H.

Lorsque h n'est pas nul, les caractéristiques z définies par le développement (i4) sont différentes de zéro à l'origine. Mais, pour A = o, nous obtenons une intégrale U à laquelle correspond une intégrale particulière Z| de V équation (4), nulle et holomorphe à l^origine. D'ailleurs, lorsque | h\ tend vers o, la limite inférieure r' de la couronne circulaire où converge le développement (i4) tend évidemment vers o; on voit ainsi que, pour A = o, les points critiques situés sur les caractéristiques Z| (issues de o avec la valeur o) viennent se confondre en a? = o. Si maintenant,

partant de ^(r'<! | ^ | <[ /'") avec une valeur initiale u voisine (* )

de U(^), nous tournons indéfiniment dans un sens convenable

sur la circonférence de centre o et de rayon |x|, nous obtenons

au point x une infinité de déterminations nouvelles qui convergent

vers Tu^{x) {cf. p. 117).

(*) Cette hypothèse revient à supposer que le point critique x^ (d'où nous sommes partis à la p. 126) est suffisamment voisin de l'origine.

On obtiendrait des résultats analogues pour la première caractéristique Ç issue du point Xs avec la valeur o. Posant 'C^ = {v'\-\- t^ on trouverait que cette caractéristique (ou la caractéristique t correspondante) est développable {dans une couronne circulaire de centre O) /^ar rapport aux puissances de x et cx^' [développement (19)5 où l'on fait v = i]. Pour c = o, le développement obtenu donne une intégrale T à laquelle correspond une seconde intégrale particulière Z de l'équation (4) nulle et holomorphe à

l'origine. Si, d'autre part, à partir d'une valeur initiale ^ de ^ voisine de T[x)^ on tourne indéfiniment dans un sens convenable sur la circonférence de centre o et de rayon \x\^ on obtient au point x une nouvelle infinité de déterminations qui convergent

vers Z[x).

Une fois obtenus les développements (i4) et (19) (où l'on fait v = i), nous reviendrons aux points critiques présentés dans le cercle F de centre o par l'ensemble des caractéristiques z issues de l'origine avec une valeur initiale a voisine de o. Nous avons vu (p. 126) que ces points critiques sont au nombre de deux lorsque le paramètre [x est inférieur à un certain nombre |jL|. En raisonnant comme à la page 117, nous démontrerons que, quel que soit [JL entre o et i, le nombre de ces points critiques est toujours 2 à condition que a soit intérieur à une certaine aire A entourant a = o.

Cela dit, il nous sera facile de déterminer le mécanisme des permutations qui s'opèrent au voisinage de l'origine pour une branche d'intégrale z. Ce mécanisme est exactement celui qui a été décrit aux pages 68-70. Soit x un point voisin de o. Les déterminations de z obtenues en ce point forment une série unilinéaire

. . . , -^—i, Zqj Z\^ • • • î

et à chaque détermination Zj correspondent deux points critiques

^y i, Xj qui le permutent respectivement avec Zj^ et ^y+i. Nous en concluons {voir p. 96) que, dans les conditions où nous sommes placés, l'origine est, pour l'équation (4), un foint

TRANSCENDANT DE PREMIERE ESPECE, DE LA PREMIERE SORTE ET DU PREMIER TYPE.