D'UNE MÊME ÉQUATION

Je ne puis consacrer que quelques pages à ce problème, qui cependant, dans une étude plus complète, devrait occuper une place prépondérante. En effet, si nous voulons rester fidèles aux principes formulés dans l'Introduction de ce Livre, nous ne devons pas nous contenter d'étudier les intégrales d'une équation au voisinage d'une singularité transcendante isolée (quelle que soit l'extension donnée à ce voisinage, dans lequel nous avons compris un ensemble infini de points critiques algébriques). Il nous faut étudier les intégrales dans tout le plan et, avant tout, nous demander si les ensembles de permutations opérées au voisinage des diverses singularités transcendantes d'une même équation sont des ensembles indépendants ou, au contraire, des ensembles liés par certaines relations.

Voulant arriver tout de suite à des résultats précis, je me contenterai d'examiner un type d'équation particulier, l'équation

(l) '2y-+- AîJ^*-h A3^3=o,

OÙ A3 est un polynôme de degré deux.

On se rappelle qu'au Chapitre II nous avons fait une étude spéciale de l'équation (i) au point de vue de la croissance de ses intégrales, et que nous avons été conduits à distinguer deux cas suivant que les degrés m^ et mz de A2 et As satisfont à l'une ou à l'autre des deux inégalités /Ws >• 2/^2+ i? 'Ws •< sma-f- 1. Or, précisément, il va se trouver que la distinction de ces deux cas, suggérée par des considérations d'un ordre tout différent, a une importance capitale dans notre problème actuel. Tandis que pour m2 = o les singularités transcendantes de Inéquation (i) (où m^=z 2) sont B. 9

l3o CHAPITRE V.

liées entre elles par une relation invariante, ces singularités sont indépendantes lorsque nt^^ o.