I. — U équation iy -\-y'-\- ax{x — a.)y^==^o
En premier lieu, faisons dans l'équation (i) /n2=o avec m3=2. En effectuant au besoin un changement de variables de la forme
(a?, 37 -h const.), (j^, ^ X const.), nous ramènerons l'équation (i) à la forme
ou
(3) J^ = -5-*, T.zz' =^ z -\- ax{x — a).
Nous allons nous demander de quelle nature sont les singularités transcendantes de l'équation (3) suivant les valeurs de a et a.
Appelons X',, V^ et X'^, X'^ les quantités X|, Xj qui, d'après le Chapitre IV (p. 107), sont respectivement associées aux singularités o et a, et cherchons à calculer ces quantités.
Pour calculer X', et Xi^ on doit prendre les racines W\ et w^ de l'équation
puis poser
Il en résulte que X', et X^ sont les racines de l'équation
4aa(X-h2)- — 2(X-h2) + 2 = o ou
(4) ^ a 7.1^ -h {iQ a OL — 2)XH-i6aa — 2 = 0.
On vérifierait de même que X'J et X'^ sont les racines de
(5) 4<3^aX'-i- (i6aa -H 2)X -h i6aa H- 2 = o.
Si nous comparons maintenant les équations (4) et (5), nous obtenons les relations
(6) x; Xi 4- \\ X'i = 8, XI -h x; -4- x", -+- X'i = - s,
RELATIONS EI^RE LES SINGULARITÉS TRANSCENDANTES. l3l
relations invariantes qui expriment la dépendance réciproque des deux singularités transcendantes x = o et x = ol.
De ces relations (6) nous allons déduire diverses conséquences, et tout d'abord celle-ci : des deux points singuliers o et a, l^un au moins est un point indirectement critique.
Pour établir ce point, je montrerai que si Ton a Si(k\) >► o, et, par suite (p. 107), AÇk'^) <!,o^ on a nécessairement ,R(X'J)<;o,
Vérilions-le pour X^. Nous savons que
