T "^~ TT -~ '1 Y
Al A« A| Ao
Remplaçons alors, dans (6), V.^ et X!, par leurs valeurs en fonction de X', , X" : nous obtenons
— 8 ou — A, — YT-TT — ^1— vT-TT = ^'
Xi-hi X'i-f-i ' Xi-h[ ' Xî-hi
et nous vérifions aisément qu'il est impossible que cette égalité soit satisfaite si les parties réelles de X', et X'J sont toutes deux positives. Nous en concluons que l'un au moins des deux points o et a est indirectement critique ( * ).
Il y aurait un intérêt particulier à savoir déterminer toutes les équations (3) telles que les quantités X'^, X^, X", , Xg correspondant à ces équations soient réelles et rationnelles. C'est en ce cas, en effet, que les singularités transcendantes sont susceptibles de se réduire à des singularités algébriques ou à des points d'holomorphisme. Voyons comment se posera le problème :
Il est clair que les quantités X seront rationnelles en même temps que les racines de l'équation en w correspondantes. Or ces racines seront :
r^ , . I • » I dz /i — 8aa Pour la singularité a? = o. . . w =
Pour la singularité x = a. . , w ■=
i d= \/ \ -h 8aa
Pour que ces quatre racines soient rationnelles, il faut et il suffit
(') Il ne saurait, par suite^ y avoir à dislance finie plus d'un point où se coupent une infinité d'intégrales de (3).
l32 CHAPITRE V.
que les quantités (i — Saa.) et (i -h 8aa) soient toutes deux des carrés de nombres rationnels. Déterminer a a de manière à satisfaire aux conditions voulues revient donc à troiwer deux nombres rationnels carrés dont la somme soit 2.
C'est là un problème connu, qui admet une infinité de solutions. Considérons l'une quelconque de ces solutions. Par exemple^
prenons pour valeurs de i — 8aa et i -\-8aai les deux carrés ;-r et ^'
dont la somme est 2. Nous devons, pour cela, faire a cl égal à —;.
nous donnerons, par exemple, à a la valeur 3 et à a la valeur —- Alors l'équation (3) deviendra
2zz'= z-\ za'(x — 3),
équation qui se transformera par le changement de variable en
(7) 2zz' = 5z -h x{x — 3).
Pour cette équetion, les quantités que nous avons appelées, respectivement (v,, iv^, X|, X2 sont à l'origine
ivi=i, ^«=2' ^i=â' ^~~3'
Posant z = x^i -^ t et z = ^1/7 -h m, nous ramènerons*
(p. ii4 et 119) l'étude des intégrales de (7), qui sont nulles ài l'origine, à l'étude des deux équations
iFa= — -u-\- X -\-. . ..
Il y a une infinité d'intégrales nulles à l'origine, lesquelles^ admettent l'origine comme point critique algébrique permutant deux déterminations.
Au point x = i (point indirectement critique), les quantités w^,.
RELATIONS ENTRE LES SINGULARITÉS TRANSCENDANTKS. l33
iVa, X», Âa sont
J fj
(Vi=3, tvj= i Xi=— -> Xj = — 7.
On prévoit que l'équation (7) jouit de propriétés remarquables. Mais de ces propriétés mêmes nous allons déduire que l'équation (7) est intégrable, en sorte qu'elle ne définit pas de transcendantes nouvelles.
Je dis d'abord que l'équation (7) admet deux intégrales particulières algébriques. En effet, si l'on pose j? = Ç^, l'équation (7) devient
dz
équation qui est vérifiée si l'on fait
De l'existence de ces deux intégrales nous déduirons a priori que l'on peut faire un changement de variable
(H et G étant des fonctions rationnelles de $) tel que la fonction multiforme Ç de (^ soit une fonction à points critiques fixes. Déterminons, en effet, la variable {> de manière que, pour z égal à l'une des intégrales polynomales (9), ^ soit égal à une constante, ce qui revient à déterminer H et G par. les deux égalités
HP -hG=c, HPi-+G = ci.
La fonction c se trouve satisfaire à une équation différentielle
de la forme -jr = fonction rationnelle de \ et i'.
Dès lors, pour que la fonction \ Ae. v eût des points .critiques mobiles, il faudrait qu'il existât des intégrales z qui, pour des valeurs mobiles de ^, satisfissent à l'égalité
(10) -j^ = H'z -f-G -f- H -tr. =0,
l34 CHAPITRE y.
en même temps d'ailleurs qu'à l'égalité (8). Mais les équations (8) et (lo), considérées comme système d'équations linéaires simulta-
dz nées déterminant z et -^> n'admettent que deux solutions. El,
puisque nous connaissons déjà les solutions 5 = ?, z = Pt (correspondant aux valeurs fixes c et C| de ç»), nous pouvons affirmer qu'il n'y en a pas d'autres. Ainsi la fonction $(<^) est une fonction à points critiques fixes : par suite, l'équation différentielle qui la définit est nécessairement une équation linéaire ou une équation de Riccati (comparer la démonstration de la page 22).
Pratiquement, pour transformer l'équation (8) en une équation à points critiques fixes, il suffira de poser
On trouvera que Ç est défini en fonction de v par l'équation différentielle linéaire
dv 3p(p — -2) /3i>(i^ — 2)
équation qui donne <^ par l'inversion d'une intégrale abélienne.
Avant d'aller plus loin faisons quelques remarques sur les branches d'intégrales de Téqualion (8) voisines de P et P|.
Entourons le point $ = y/3 d'un petit cercle y (ne contenant
pas l'origine), puis plaçons-nous en un point \ du contour de ce cercle et posons
Je dis que, si b est suffisamment voisin de 605 wi^ caractéristique quelconque de (8) issue de \ avec la valeur initiale b n^ admet, en dehors du cercle y, aucun point critique à distance finie.
En effet, d'après les lois de continuité, l'ensemble des caractéristiques égales à 6 au point $ est, pour b voisin de èo? «i^^ fonction holomorphe de b en tout point du plan des i, excepté
peut-être au voisinage des points Ç = o, Ç = y/3 qui annulent
RELATIONS ENTRE LES SINGULARITÉS TRANSCENDANTES. l35
l'intégrale polynomale P» (pour laquelle b = bo). Mais nous savons (p. 182) que Téquation (8) possède une infinité de branches d'intégrales qui sont toutes nulles et holomorphes à l'origine (*). Ces branches sont fonctions holomorphes d'un certain paramètre C (c/. p. i24)î je supposerai que l'on ait pris comme paramètre C la valeur des branches d'intégrales en un point fixe |', voisin de l'origine, situé par exemple sur le segment Ço (on choisira | de manière que |o ne traverse pas le cercle y décrit autour du point v3). Si nous appelons alors Co la valeur P| (|'), les caractéristiques issues de 5' avec des valeurs C voisines de Go seront toutes nulles et holomorphes à l'origine. Considérons maintenant
les caractéristiques issues de, 5 avec la valeur initiale ^ En un
point quelconque de |o, ces caractéristiqaes sont fonctions nolomorphes de b pour b voisin de b^. Donc Cest fonction holomorphe de b pour b voisin de 60 î donc, encore, les caractéristiques dont
la valeur initiale b est suffisamment voisine de bo prennent en Ço une valeur voisine de Co et sont nulles et holomorphes à l'origine. On en conclut que l'ensemble des caractéristiques issues
de I avec la valeur b ne présente pas de point critique au voisinage de l'origine, mais seulement dans le cercle y.
Nous allons maintenant démontrer une importante propriété de l'équation générale (3). Nous écrirons cette équation sous la forme
après avoir effectué les changements de variables (zj-Lx = i*.
Faisons varier avec continuité les paramètres a et a, de telle manière que l'origine continue à être un point directement critique [pour lequel ^(X|)>>o], tandis que les points i = ±:y/a ne cessent pas d'être des points indirectement critiques.
L'équation (11) admet, comme on sait (p. 127-128), deux inlé-
(') Si l'on fait x = Ç% ces branches sont données par Téquation en /
l36 CHAPITRE V.
grales nulles el holomorphes au point indirectement critique
Ç = y/a. De ces deux intégrales, Tune, Z,, est très voisine de P| lorsque a et a sont respectivement très voisins de o,o4 et 3. Suivions cette intégrale Zj le long d'un rajon quelconque issu du
point y a : nous obtenons un ensemble de caractéristiques (Z,) qui ne sauraient (si n eX, ol sont suffisamment voisins de o,oo4 et 3) présenter des points critiques ailleurs qu'au voisinage de l'origine; je dis que cet ensemble p! ail met comme point critique que V origine elle-même.
En effet, nous savons (p. i 19) que l'équation (1 «) a une infinité de caractéristiques {z) nulles à Torigine, fonctions holomorphes de X et de la quantité cx^^. Ces caractéristiques [z) (lorsque |c| est assez petit) ne présentent aucun point critique autre que l'origine dans un cercle 3 de centre ^==0; elles sont par suite (d'après les lois de continuité) fonctions holomorphes de a et a en tout point de 8 (l'origine exceptée). Soit, d'autre
part, C la valeur d'une caractéristique {z) en un point ^' intérieur à 8; la constante que nous appelons c se trouve être fonction continue et uniforme de C [voir p. 119, note i). Posons, dès lors,
Co=P»(ï') : les caractéristiques [z) sont, dans le cercle 8, des fonctions continues des trois variables C, «, a pour C, a, a respectivement voisins de Co, o,o4 et 3.
Soit maintenant Z, la valeur en Ç' de la caractéristique Z, suivie
le long du segment y/o^S'. Pour a et a voisins de 0,04 et 3, Z< est
voisin de C,,. Donc la caractéristique issue de \' avec la valeur Z,,
et suivie le long de ^'o, est une des caractéristiques que nous avons appelées {z). En d'autres termes, l'ensemble des caractéristiques (Z|) présente à l'origine un point directement critique isolé, ainsi que nous l'avions annoncé.
La démonstration qu'on vient de lire suppose a et a voisins de 0,04 et 3, soit \a — o,o4 | <C ^ et |a — 3 | <! o^i. Mais, une fois ce résultat obtenu, nous pouvons répéter la même démonstration (') au
C) Soit a,, ttj u:i syàième de valeurs a et a pour lequel la proposition soit
démontrée, et soit II, l'intégrale Z, correspondante. Il suffira de faire 0^= R,(Ç') dans la démonstration précédente pour (]ue cette déinonstralioo s'applique au voisinage des valeurs a^ et a^ de a et a.
RKLXTIONS ENTRE LKS SlNGULVRIlÉS TRANSCKNDANTKS. l^J
voisinage de | a — o, o4 | = o", | a — 3 | = o-, . Nous constatons ainsi que la proposition énoncée ne cesse pas d'être vraie tant que a et a restent dans un certain' domaine : parmi les deux intégrales de
Inéquation (ii) qui sont nulles et holomorphes au point y/a, Vune, Z|, est telle que V ensemble des caractéristiques (Z<)
issues de yJoL avec la valeur o ne présente, dans tout le plan, d'autre point critique que V origine.
En nous appuyant sur ce théorème, nous pouvons répéter, à propos de l'équation (i i), les remarques que nous avons faites
plus haut sur l'équation (8). Traçons autour du point \Jcl un petit cercle y ne contenant pas l'origine; appelons $ un point du contour y et posons 60 = Z, ( $ ). Le raisonnement exposé à la page 1 35 permettra d'établir la proposition suivante : Si b est suffisamment voisin de b^^ une caractéristique quelconque de (11) issue
de $ avec la valeur initiale b n'admet, en dehors du cercle y, aucun point critique autre que V origine.
Ce qui fait l'intérêt de cette proposition, c'est qu'elle établit une corrélation entre les diverses singularités transcendantes des intégrales de l'équation (11).
Nous savons en effet (p. 190) que si, partant du point \ du contour y avec une valeur b voisine de 60» nous voulons opérer la
série unilinéaire de permutations qui définit le point \jn. comme point de [)remière espèce de la première sorte, nous devons décrire une suite de tours le long du contour y.
Or, faisons le changement de variable ^ = y/ay~* qui transforme le cercle y en un cercle G de très grand rayon, et les
points ^ = o, Ç == oc en 7 = -T-» y = o. Il résulte de la proposi-
tlon énoncée plus haut que, si y est un point quelconque du contour G, l'ensemble des caractéristiques issues de y avec la valeur b
ne présente aucun point critique en dehors des points -p et o.
Par conséquent, décrire à partir de y le contour du cercle G équivaut à décrire un lacet fermé quelconque autour des
deux points X ^= ^ ^^ y = ^ ' •
Revenant à la variable Ç, nous énoncerons ainsi cet important
l38 CHAPITRE V.
résultat : Les permutations opérées autour de la suite de points critiques algébriques qui converge vers le point indirectement
critique y/a équivalent aux permutations opérées autour des deux points directement critiques Ç = o e/ Ç = oo.
Le résultat ainsi obtenu n^étant pas altéré par le changement de variable x = S^, nous pouvons l'appliquer à Téqualion (3) en
remplaçant Ç par x et y/a par a.
