II. — Uéquation^y '\- k^i^x^y^-^- axi^x — a)j''=o

Passons maintenant au cas où le coefficient A^ de l'équation (i) a un degré positif (A3 étant toujours de degré 2). J'ai dit que, dans ces conditions, il n'y a plus de relation invariante entre les diverses singularités transcendantes de l'équation (i). C'est ce dont nous allons nous rendre compte.

Je supposerai, pour fixer les idées, Aj du premier degré. Les conclusions auxquelles je parviendrai dans ce cas s'appliqueront a fortiori lorsque le degré de Aj sera plus élevé.

En posant y •=. z~^ et faisant au besoin le changement de variables (a;, x -h const.), (y, y x const.), on mettra l'équation proposée sous la forme

(i'2) 2*y = (i -h Pa7)*-h aa7(a7 — ot).

Je vais montrer que l'on peut disposer de ^ de manière que les points x =^ o et x =z ol soient des singularités de types assignés à l'avance.

Cherchons encore à calculer les valeurs X',, W^ et a", , V^ des paramètres X|, X2 relatifs aux deux points o et a.

Les quantités V^ et X^ sont données, comme au paragraphe I, par l'équation (4) de la page i3o. Quant aux quantités )/, , V^j elles sont évidemment égales à celles que fournirait l'équation

izz' = (i -h p3t)-3 -H aa(:r — a).

Or, cette dernière équation se transforme, par le changement de variable z = (i -h (ia) w, en

, aa

(rTF?^""""^'

RELATIONS ENTRE LES SINGULARITES TRANSCENDANTES. iSq

d'où Ton conclura que X* et X^ vérifient l'équation algébrique

(i3) / Q ^, ^^-+- ; sn:? -+-2 P^-+- / ô-:t

Les coefficients de cette équation n'étant liés aux coefficients de l'équation (4) par aucune relation invariante, il est clair que l'on pourra toujours disposer des paramètres a, a, ^ de manière à fixer arbitrairement le type des singularités o et a.

Soit par exemple (comme à la page i32)a=-r>a=3. Pro-

posons-nous de déterminer ^ de manière que X" = X', et X'^ = V^ • il faudra évidemment et il suffira que nous prenions

(i-haP)« = — I ou 3p=— 1±*.

En particulier, faisons ^ = — - 4- ô' auquel cas l'équation (12) se transforme par le changement de variable (z^ T) ^^ l'équation

'= ^5 — ^-y^*ar j * -+- a:(x - 3),

La singularité o de l'équation (i4) se comporte comme la singularité ode l'équation (7). On a V^ =s -t ^2 = — ^j ce qui donne

une infinité d'intégrales nulles pour j? = o, lesquelles admettent l'origine comme point critique algébrique permutant deux déterminations (voir p. i32).

D'autre part, l'équation algébrique (i3) [où (i + pa)2 = — i] coïncide avec l'équation (4)* On a donc

Aj — Ai — -I A, — Aj— — -,

et l'on en conclut que la singalarilé 3 de Inéquation (i4) est du mime type que la singularité o.

U équation (i4) jouit, dès lors, de cette propriété remarquable que ses intégrales ne présentent aucun point singulier transcendant à distance finie. L'étude de cette équation semble devoir être, pour ce motif, particulièrement intéressante.

l4o CHAPITRE V. — RELATIONS ENTRE LES SINGULXRITÉS TRANSCENDANTES.

Nous venons de construire une équation (12) dont les singularités transcendantes dégénèrent en singularités algébriques. Il est clair que nous pourrions, tout aussi aisément, construire une équation (12) présentant deux points transcendants directement critiques. C'est là une circonstance qui ne saurait se présenter, nous Pavons vu, lorsque jâ est égal à zéro.

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE DONT L INTÉGRALE GÉNÉRALE N'A QU'UN NOMBRE FINI DE BRANCHES,

Par m. Paul PAINLEVÉ.

Propriétés générales des équations différentielles

du premier ordre,