Soit

(i) ^ = £lZ^ (P et Q polynômes en ar,j^)

une équation du premier ordre et du premier degré.

Théorème I. — Une intégrale y {x) de inéquation (i) ne saurait présenter, dans le plan des x^ de points singuliers non algébriques, en dehors de certains points fixes \ en nombre fini, qui peuvent être déterminés algébriquement en fonction des coefficients de P et Q,

Ce théorème a été démontré dans le corps de l'Ouvrage, et les points Ç ont été énumérés (p. iS-i^).

2. Soit maintenante^ = 'f (^, y^j x^) l'intégrale qui pour x = x^ prend la valeur j^<>. Considérons, dans le plan des x^ deux points

fixes [*) x^ et X arbitrairement choisis, mais distincts des'pointsÇ, et un chemin quelconque L joignant ces deux points et assujetti à la seule condition de ne passer par aucun des points Ç. Prolon-

( ' ) Je représenterai par x (ou j?*, etc.) une valeur ^*a:e de la variable x (ou J?", etc. ).

l42 NOTE.

geons analytiqiiement, le long de L, la fonction^ ( x) = ç (x^ ^®, x®) en laissant ky^ une valeur constante égale à 6 ou voisine de 6. Si nous rencontrons sur L un point critique (algébrique) de y{x)^ nous adoptons, après avoir franchi ce point, une quelconque des valeurs de y{x) qui se permutent autour de ce point. On arrive

ainsi en x avec une certaine valeur j^=: o(Xj y^^ x^ ) qui dépend dey^.

Théorème II. — L'expression o\x^y^^ x^) coïncide avec une branche d'une fonction de y^ algébroïde pour y^ = b, quelle que soit la valeur b {finie ou infinie) considérée.

Ce théorème se trouve démontré dans le corps de l'Ouvrage, par le raisonnement indiqué au début delà page 20 et page 33.

3. Remarques sur le théorème II. — Considérons la fonction y z=o\x^ y^^ x^) et prolongeons-la analytiquement dans tout le

champ des x et des y{x^ restant invariable ). On peut être tenté de déduire du théorème II la conséquence que cette fonction ne saurait présenter dans le champ des y^ des singularités non algébriques. Il importe de bien comprendre que cette conclusion n'est pas exacte.

Représentons par Y(^) l'intégrale qui correspond aux conditions initiales \x =^ x^^ y =:. b). Pour plus de clarté, supposons d'abord quey(x) ait un nombre fini/? de branches; traçons, dans

le plan des j?, entre x^ et x. p chemins L4, .. ., L^ de longueur finie, ne passant par aucun point $ ni par aucun des points critiques de Y(a7), et tels qu'on arrive en x sur ces p chemins avec les p valeurs ¥<, . . ., Y^. Si l'on donne à y^ des valeurs voisines

de 6, l'intégrale j^(:r) définie par les conditions {^x = x^^ y =^y^) prend, en X», /? valeurs jKi 7 ... ,^/i voisines de Yi, ..., Y^ quand :r varie de x^ en x sur les p chemins Li, ..., L^. La fonction

y = ç(^, y^^ x^) a donc au moins p branches, soit ^ = îp,,

y = cp^, qui, d'après le théorème II, sont algébroïdes pour^®== b. Mais si l'intégrale considérée r(x), voisine de Y(^), a plus de

y =z Op^i(x, j'^, «:S), ..., qui peuvent admettre y^=^b comme point singulier transcendant.

Montrons-le immédiatement sur un exemple.