Étude d'un exemple particulier. — L'équation

a son intégrale générale définie par la relation

•(3) yey = — ^oer*= Cx (C constante arbitraire).

Les points $ de l'équation (a) sont ^ = o et x = 00. Elle admet

ll'intégrale particulière j^ = o ; sa transformée en5 = - admet Tin-

tégrale 5 = 0. Toute autre intégrale j^(^) ne peut devenir nulle ou infinie en dehors des deux points jr == o et a: = 00. Enfin, aux points critiques mobiles (algébriques) de y{x)^ la fonction est égale à'^i. D'après (i^), une intégrale j>^(:r) n'a donc, en dehors du point x = o^ qu'un point critique à distance finie, à

savoir le point x =: — -1-^"^^""^*^ et autour de ce point deux

branches seulement se permutent.

La relation (3), qui définit les intégrales ^^(.ar), peut s'écrire

«(4) ^ -+- logj^ = Ioga7-4- const. ;

quand x tend vers zéro, y tend vers zéro ou l'infini; or, l'équation (3) en y n'admet qu'une racine ^(j?) tendant vers zéro avec^r et cette racine est holomorphe pour a: = o. Chaque intégrale j>^(j:) admet donc une branche et une seule holomorphe pour :r = o et toutes ses autres branches (en nombre infini) deviennent infinies pour j? = o, comme log x^ et admettent ce point comme point critique transcendant; quant au point a? =: 00, c'est un point singulier i transcendant de toutes les branches de y{x)^ et ces branches deviennent infinies en ce point comme log;r.

Etudions maintenant y comme fonction de y^, en laissant à x et x^ des valeurs invariables; la fonction y = à(y^) ainsi définie est une fonction à une infinité de branches qui admet les points y^= o^ y^= co comme points sing-uliers transcendants.

l44 NOTK.

En effet, l'intégrale générale y{x) peut s'écrire y = o(Gj7),

où G = ■ — —; il suit de là immédiatement que, poury^= o, une

des branches et une seule de ^(^") est nulle et holomorphe; toutes les autres branches sont infinies, comme log y^, et admettent y^ = o comme point critique transcendant. Pour ce qui est du pointy®=x), on voit immédiatement que l'équation