Jogy =r"-»-logy^+log

= r^-H Iogy0-+- a, (a = log— j

admet une solution y=: /(^y^^ a) et une seule (') méromorphe pour y^ = 00 (et infinie comme j^^); toutes les autres branches de i^{y^', CL) ontj^® = oo comme point critique transcendant.

Ce résultat s'explique d'après la remarque du n" 3. L'intégrale Y(j?) définie par (:c = .r", y = o) est Y = o; elle n'a qu'une

branche. La fonction y = (p(a?, y^^ x^) a donc au moins une branche algébroïde pour j>'®=o, mais toutes les autres peuvent admettre et admettent en fait j^** = o comme point singulier transcendant. Une remarque analogue s'applique à l'intégrale j/ ^ oo,

ou 5 = — ^ o, définie par (x = x**, y := oo).

(*) On montre aisément que s'il existe une racine y —f{y^^ a) de (5), algébroïde pour ^j= ûo, cette racine esi de la forme

Quand on remplace, dans (5), y par ce développement, les coefficients A, B, C se calculent successivement sans ambiguïté :

Comme, d'autre part, nous savons (n° 3) qu'une au moins des valeurs de y ■=. <J/(y®, a) est algébroïde pour y^~ oc, le développement précédent est sûrement convergent. On peu», d'ailleurs, le vérifier par la méthode des fondions majorantes.

Remarquons que a ou log — admet une infinité de valeurs, différant entre

elles de aniit (n*entier positif ou négatif); la branche y = ^( >'", log — ), mé-

romorphe pour y«=oo, admet dans le champ des x une infinité de valeurs se permutant autour du point (\\q x = o.

NOTK. 145

Nous reviendrons plus loin sur cet exemple. Remarquons seulement que, quand y^ tend vers o (.r<* restant fixe, égal à I par exemple), le point critique mobile de y{x)^ à savoir :

X =z g-^J+r") tend vers l'infini, c'est-à-dire ici vers un point Ç.

Quand JK® tend vers l'infini, ce point critique devient complètement indéterminé.

Cet exemple suffit à montrer la nécessité d'approfondir les particularités de la fonction y = cp(ar, y^, x^ ) dans le champ desy^. Nous traiterons d'abord le cas particulier remarquable où l'intégrale générale y{x) est une fonction à n branches.

S. Equations (i) dont r intégrale générale y{x) est une fonctions à n branches.

Supposons, en premier lieu, que l'intégrale générale y{x) soit

uniforme» Soit jk(^î JK®? ^^) l'intégrale définie par les conditions

initiales {x-=x^^ ^ = v^); la fonction jk(^, y^^ x^) a une valeur unique pour j^®=fe, que b soit fini ou infiniy et cette valeur est une fonction méromorphe de y^ pour y^=:b. La fonction

y ^=- îû(^, y^f x^) est donc une fraction rationnelle eny^. Si l'on

permute le rôle de x et de x^^ on a évidemment /^ = 0(0:'^, y, x), La fraction rationnelle y (^®) est donc nécessairement du premier degré. L'équation (1), par suite, est une équation de Riccati.

Supposons maintenant que l'intégrale générale y{x) soit une fonction à n branches; par définition, nous entendrons par là qae chaq ne '\nié^vdi\e y {x) a exactement n branches, exception étant faite peut-être pour certaines intégrales formant un ensemble dénombrable.

Soit c une quelconque des valeurs de.^*^ telles que l'intégrale

y\x^ y®, x^) ne soit pas une fonction àe x k n branches.

Représentons par E l'ensemble ( * ) de ces points c dans le plan

(•) Soit n' le nombre de branches de l'intégrale y (a;, c, a:*); n' est nécessairement moindre que n. Car si n' > /i, l'intégrale y{x^ y", a?*) admettrait au moins ri branches pour toutes les valeurs y^ voisines de c. Un raisonnement analogue montre (|ue tout point limite y^ des points c est aussi un point c; autrement dit, Tensemble dénombrable E est fermé; il renf<*rme son ensemble dérivé. Mais xes remarques ne sont pas indispensables au raisonnement qui suit. Ce raison-

l46 NOTE.

des y^. Si b n'est pas un point de cet ensemble, Fintégrale

y( x^ y^^ x^)^ pour ^ égal à 6 ou >oîsin de è, est une fonction de X à n branches, soit les branches^',, ..., ^«. Les combinaisons symétriques

ont une valeur unique (x gardant une valeur distincte des ç) en tout point b du plan des^® qui ne fait pas partie de l'ensemble E,, et cette valeur est une fonction méromorphe de y^ pour^i**= b^

Si donc l'expression uni/orme ^^yj = i( x, y^^ x^) présente des

singularités non polaires, ces points singuliers font partie de l'ensemble dénombrable E, et par suite, d'après un théorème bien connu, il en est, soit le point ^*= y, qui sont isolés. Les mêmes remarques s'appliquant aux autres combinaisons symétriques, la

fonction y = 'f (.r, y^, x*^ ) vérifie une relation de la forme •

(i) y"*-^ An-i (^, j^«, xô)^«- » -f- . . . -+- A, ( j:, y^,x^)y -t- Ao(.7, yo, Jô) = o,.

où les Ay sont des fonctions un/formes de y^ qui, si elles ne sont pas algébriques, admettent au moins (à distance finie ou infinie) un point singulier isolé (point essentiel au sens de Weierstrass), soit le point y^=^ y.

Mais si l'on permute le rôle de x et de x^, on voit aussitôt que la

fonction y^=^ ^(*^"? y 7 x)^ fonction définie par (1), vérifie aussi la relation

('^) y'i -^- An-\{^, y, ^)y'i''^ +...-<- A,(Ïô, y. x)y^-^ Ao(ir«, y^, x)= o,.

ce qui est impossible, comme on sait ('), si les fonctions Ay( j?, j'®, x^) (ou une d'entre elles) admettent un point singulier essentiel.

ncrncnt ne dUrère pas d^ailleurs du raisonnement des pages 19-20 du texte. Mais je lui donne ici un peu plus de développement en vue de ce qui va suivre.

(') La proposition élémentaire sur laquelle on s'appuie ici est la suivante : Soit y{z) une fonction analytique de z définie par une relation

(3) ^«+A,^,(^)j'— »-t-...-+-A,(5)j--l-Ao(i;) = o,

où les A sont des fonctions uniformes de z dont une au moins admet z = -^ ■

NOTE. l47

La fonction y = <f (^, y^^ x^) vérifie donc la relation

où les Ay sont des /onctions rationnelles de y^ (et des fonctions uniformes de x et de :r®). Ce^^ une fonction algébrique de y^.

6. Du râle des points critiques fixes et des points critiques mobiles.

Convenons de dire qu'un contour fermé C du plan des x ne tourne pas autour d^ un point fixe S, si l'on peut le réduire à un point par une déformation continue sans rencontrer ce point Ç. Ceci revient à dire que l'angle du vecteur ^x avec l'axe réel positif reprend sa valeur initiale quand x parcourt une fois le contour C. Si, au contraire, cet angle s'augmente de 2mTz(m entier positif ou négatif), on dit que le contour C tourne n fois autour du point Ç.

Cette définition admise (*), soient y i ely.y deux branches d'une 'intégrale particulière k(^) de l'équation (i); nous dirons que ces deux branches se permutent autour des points critiques mobiles si l'on peut passer d'une détermination à l'autre en faisant décrire à ^ un contour fermé qui ne tourne autour d^ aucun des points critiques fixes $.

7. Equations dont V intégrale générale n'admet que n branches permutables autour des points critiques mobiles.

Si l'intégrale générale y{x) di ses points critiques fixes, soit L

comme point singulier essentiel isolé. // est impossible que la fonction inverse z{y) soit une fonction à un nombre fini m de branches.

En effet, (moyennant le changement éventuel dt y tn y -t- h, h désignant une constante), il est loisible de supposer que Ao(z) admet z = y comme point essentiel et, d'autre part, que pour y = o les fonctions z(y) a ses m valeurs régulières et distinctes de la valeur y; pour y voisin de zéro, les m valeurs de z{y) diiïcrent donc de y de quantités supérieures en module à une certaine quantité positive p. Or, on peut toujours donner à z des valeurs tendant vers zéro et telles que A^(^) tende vers zéro avec elles; pour ces valeurs, Téquation (3) en^ a au moins une racine qui tend vers zéro; pour des valeurs y voisines de zéro, z{y) aurait donc une valeur voisine de 7, donc plus de m valeurs ce qui est contre l'hypothèse.

(') Voir, au sujet de cette définition, les n" 12, 13 et 14

l48 NOTE.

un chemin allant de x^ en a: sans passer par aucun point ^ ; la valeur j^= si ar,^'®, x^ ) ainsi définie est une fonction partout méromorphe de r^^ donc une fraction rationnelle. On voit, comme au n" 5, qu'elle est du premier degré; Tcquation (i) est une équation de Riccati.

Supposons maintenant que chaque intégrale y (x) ait exactement n branches permutables autour des points critiques mobiles, sauf peut-être certaines intégrales formant un ensemble dénombrable et que nous appellerons exceptionnelles. Nous dirons, alors que l'intégrale générale admet n branches permutables autour des points critiques mobiles.

Soit, comme plus haut, ^®=c une des valeurs (*) pour lesquelles l'intégrale j^^( or, y^^ x^) est exceptionnelle et soit E l'ensemble des points c dans le plan des j®. Pour toute valeur r"= b

qui ne fait pas partie de C ensemble E, l'intégrale y{x^ />>, x^ ) admet n branches permutables autour des points critiques mobiles, soit les branches Y| , Y2, . . ., Y„ ; nous pouvons tracer, dans le plan

des a?, un chemin L joignante?" et ^ (sans passer par aucun point $) et {n — i) contours fermés partant de x pour y revenir sans tourner autour d'aucun point ç, tels que^(j7, ^, x^) acquière enjrsur ces chemins les n valeurs Y|, ..., Y„. Pourj>''® voisin de 6, l'intégrale yix^y^^ x^) prend en j?, sur les mêmes chemins^ n valeurs distinctes j^i, . . . , j>'„ voisines de Yi, ..., Y„, et ces n valeurs se permutent autour des points critiques mobiles. Les combinaisons symétriques

auront donc (le chemin L étant donné) une valeur bien déterminée pour toute valeur b (finie ou infinie) de y^ qui ne fait pas partie de l'ensemble E, et cette valeur sera une fonction méromorphe Ae y^ Y^oxxv y^ =. b ,

( >) On peut faire sur ces valeurs les mêmes remarques qu'à la page i45 (noie).

L'intégrale y{x^ c, x*) ne peut avoir que n <, n branches permutables autour des points critiques mobiles. De plus, Tensembie E est fermé.

Dès lors, on peut répéter sans modification le raisonnement du n" 5. Les fonctions Kj{x^y^^ x^) sont nécessairement ra^io/î/ieZ/e^ en r®; la seule différence est que ces fonctions ne sont plus, en général, uniformes en x ou en x^. Il résulte évidemment de ce qui précède que leurs diverses branches sont holomorphes ou méromorphes en x et en x^ lorsque x eix^ diffèrent respectivement des valeurs Ç, mais elles peuvent admettre ces valeurs comme singularités transcendantes fixes, soit dans le plan des x^ soit dans le plan des x^ (*).

En définitive, /?o«</* la classe d^ équations considérée y la fonction y = o(^, .X®, ^®) ^st une fonction algébrique de y^^ et les branches de cette fonction qui se permutent entre elles, quand on fait varier seulement x^, correspondent à n branches d'intégrale j'(x) permutables autour des points critiques mobiles,

8. Propriétés des équations précédentes, — Les équations du numéro précédent, comme celles du n" 5, rentrent donc dans les équations dont l'intégrale générale y(^x) est une fonction algébrique de la constante arbitraire convenablement choisie. On a vu, dans le corps de l'Ouvrage (p. 19-25), que l'intégrale générale de l'équation (i) peut alors se définir par une relation de la forme

où A désigne l'intégrale générale d'une équation de Riccati :

(II) ^ = G^a7)X«-^ H(^)X + K(^),

les coefficients Ly, My, G, H, K désignant des fractions rationnelles en X,

I oc

(') Par exemple, l'équation y' = —a comme intégrale^ =^" -h log —; ;r =

Oc X

et ;r = 00 sont points logarithmiques de y = 9(iF, y®, x*) ainsi que x" = o

cta7" = oc. De même, I équation y'=— ^ a comme intégrale ^ =^*c^'^ ■'• ;

Téqualion y' = — a comme intégrale : y = y^l -— i •

oc \x )

l50 NOTE.

L'intégrale de Téquation (II) peut s'écrire :

i\\ bit) X(x) = jr- -^ (G constante arbitraire),

les fonctions y, f^-, 'o et 0| étant des fonctions bien déterminées et holomorphes de x dans le voisinage d'un point x^ arbitrairement choisi en dehors des points \. Si l'on remplace ). par cette expression dans (I), toute intégrale ^(:r) de (i) vérifie l'équation

pour une valeur convenable de C.

Considérons l'équation

dy ây

dont le premier membre est un polynôme en y de degré (an — 2 ) au plus; soitj^ = ^(j:) une de ses racines, et y son ordre de multiplicité (pour X quelconque).

Si^ = g{x) est en même temps une intégrale particulière de (i), l'égalité (1 bis) admet, pour une valeur convenable de la constante C, la racine j^ = ^(j;) comme racine d'ordre y -f- i (pour X arbitraire). Appelons solution multiple d^ ordre j -\- \ ^ toute intégrale particulière^ = gix) de (i) qui, pour une valeur convenable de la constante et pour x arbitraire, est racine d'ordre y -|- 1 de l'équation (Ibis) en y. Une telle solution est nécessairement racine d'ordre y de l'équation (III) et, par suite, est une fonction algébrique de x. Les valeurs de la constante C qui correspondent aux solutions multiples seront dites valeurs remarquables de C.

Ceci posé, le coefficient difierentiel de (1) étant ^. ! > soient

p et q les degrés en ^ de P et de Q, et soit v le plus grand des nombres/? et ^ -f- 2. Il est loisible (moyennant une transformation homographique effectuée sur j^) de supposer /? = v, y = v — 2, et c'est ce que nous ferons. On a démontré (p. 28-24) que v est exactement égal à in^ à moins qu^il n^ existe des solutions multiples de (i). Mais dans ce dernier cas, l'équation de Riccati (11) admet au moins une solution algébrique et se ramène aux quadra-

NOTE. l5f

tures. La relation qui existe entre v et /i est alors : (IV) v = 2n-2/'

y -h I désignant la multiplicité d'une des solutions multiples et la

somme y^j étant étendue à toutes les solutions multiples.

S'il n'existe qu'w/ie seule valeur remarquable, soit C|, de la constante, désignons par Aj la solution correspondante de l'équation de Riccati (solution qui est nécessairement rationnelle) ( * ), et par /, le nombre des racines distinctes de l'équation (I) en j^ quand

on y remplace X par X| {x étant arbitraire). La somme \V est

égale k n — /| , donc au plus égale k n — i , et v est au moins égal

à/H-i. La transformation [jL(:r)= r-— y ramène l'équation (II)

à une équation linéaire à coefficients rationnels.

S'il existe deux valeurs remarquables {mdÀs deux seulement),

soit G| et G2, de la constante, désignons par X| et X^ les intégrales

correspondantes de l'équation de Riccati, par l^ et U le nombre

des racines distinctes de l'équation (I) en y pour X ^ X| et A ^ X2.

On a

v = 2/i — (n — l\) — (n — If) =s li-^ l^.

Gomme il est loisible d'effectuer un changement homographique sur G, on peut toujours admettre que G = o et G = 00 sont les deux valeurs remarquables de G et l'équation (Ibis) peut alors s'écrire

OÙ les i sont des entiers positifs ou négatifs sans facteur commun. La somme des entiers i positifs est égale k n et celle des entiers i négatifs à — n.

S'il existe au moins trois valeurs remarquables de la constante, l'intégrale générale de (i) est nécessairement algébrique. Le nombre des valeurs remarquables de G et des solutions multiples de (i) est évidemment fini.

(^) En effet, si \{ûp) avait au moins deux branches, ces deux branches, d'après (II bis)f correspondraient à deux valeurs distinctes de C qui seraient toutes deux remarquables.

l5'2 NOTE.