Posons-nous d'après cela la question suivante

Reconnaître si V intégrale générale d^ une équation (i) donnée vl acquiert qu^un nombre donné n de branches autour des points critiques mobiles.

La question (p. 24) se résout à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, et si la réponse est affirmative, la méthode fournit explicitement les équations (1) et(ir); l'équation (i) est ainsi ramenée rationnellement à une équation de Riccati.

Posons-nous maintenant la même question, mais sans que le nombre n soit donné.

Soit toujours

L'entier n est au moins égal à -• On peut toujours reconnaître,

à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, si l'entier n a une valeur inférieure ou égale à v. Quand la réponse est négative, si l'intégrale jouit de la propriété étudiée, il existe au moins 4eux valeurs remarquables de la constante (puique v est inférieur à ^ + 1). S'il en existe au moins trois, l'intégrale de(i) est algébrique : écartons ce cas. S'il en existe deux seulement, l'intégrale peut se mettre sous la forme (V). 11 est facile de reconnaître s'il en est ainsi.

En effet, on peut toujours décider, à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, si l'intégrale d'une équation (i) donnée se laisse mettre sous la forme (V), où les «désignent des constantes numériques quelconques dont la somme est nulle. 11 suffit d'exprimer que l'équation

(VI) J-iogS(^, y) -hy -^ logS(a7, y) = o

coïncide avec l'équation (i); or l'équation (VI) peut s'écrire

A et A< désignant deux polynômes en jk- le premier de degré v — 2, le second de degré v au plus, et B désignant un polynôme de degré v en y dont les racines sont les valeurs^ = ^^(-2:^). Comme

on doit avoir

le poljnoine A en^ doit être divisible par le polynôme Q en y de degré au moins égal; les deux polynômes ne diffèrent donc que par un facteur fonction de x seulement et qu'il est loisible de supposer égal à 1. Il suit de là que /a différentielle

Pdx — Qdy

admet un multiplicateur -^9 où B est un polynôme en y de

degré v à racines simples.

On commencera donc par reconnaître (ce qui est facile) si un tel multiplicateur existe. S'il existe au moins deux tels multiplicateurs distincts (c'est-à-dire qui diffèrent autrement que par un facteur constant), leur quotient est une intégrale première de l'équation (i), et. ce quotient est une fraction rationnelle en j' de degré v : l'entier n serait par suite égal à v, ce qui est contre l'hypothèse. En définitive, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, deux cas seulement sont possibles : ou bien il n'existe pas de multiplicateur de la forme ^> ou bien il n'en existe qu'un (défini à un

facteur constant près).

Si l'on pose

les fonctions oLfç(x) sont déterminées rationnellement, ainsi

que ^, ^

L'expression B étant ainsi calculée, il faut : 1° que les racines y = gk{x) de B soient toutes simples ; 2? que les résidus Ck (*)

de la fraction ~ rationnelle en y aient des rapports commensu-

rables. Quand ces conditions sont remplies, considérons ces

(') Ces résidus sont des constantes (indépendantes de x), car soit

y-gA^)

un des termes de la fraction ^ décomposée en fractions simples; 3iitCj est une pé-

riode de la différentielle ^^ > donc de la différentielle totale exacte ^ — =^—5 ;

elle est, par suite, indépendante d^ X] c^ est une constante numérique.

l54 NOTE.

nombres rationnels — rendus irréductibles; appelons «i le plus

petit commun multiple de leurs dénominateurs ; il nous est loisible de multiplier B par une constante numérique telle ^ que c< devienne i^. La nouvelle expression

Ç^dy — ^dx B

est une différentielle totale exacte où l'on a

les i désignant des entiers sans facteur commun.

La primitive de cette différentielle est donc de la forme

et l'on a

(Idy-^Pdx ^^ y^i,idy^g',dx) ^^^ Kdy^K,da^

B "- ^ Ad y — gk ^ \i{y-^gk)

A et A2 étant des polynômes en y rationnels en x, ainsi que ^{y — gk)' L'identité

h:VL{y-gk)^^x P A -Q

montre aussitôt que h! est connu, lui aussi, rationnellement.

En définitive, dans le cas que nous venons de traiter, nous savons mettre l'intégrale sous la forme

H(iP, y) X u{x) = const.,

u' où H est un polynôme en jk et ^ et où — ^ /// est rationnel q\xx, !

10. Conclusion, — Posons-nous, d'après cela, le problème suivant :

Reconnaître si C intégrale générale y{x) d^une équation (i) donnée est une fonction transcendante qui n'acquiert qu^un nombre fini non donné de branches autour des points critiques mobiles {ce nombre étant le même pour chaque intégrale, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable d' intégrales particulières).

La réponse s'énonce ainsi : On peut, à l^aide d^un nombre fini d^ opérations rationnelles, résoudre le problème et (si la réponse est affirmative) ramener U équation à une équation de Riccati (^),

Il est intéressant de remarquer que si on se pose le même problème en supprimant la restriction que l'intégrale doit être transcendante, le problème devient beaucoup plus difficile ; on ne sait pas reconnaître encore, en général, si l'intégrale générale d'une équation (i) donnée est algébrique. Le problème transcendant apparaît donc ici comme plus simple que le problème algébrique correspondant.

La nature de l'intégrale générale y {oc) d'une équation (i) est bien élucidée d'après ce qui précède, dans le cas où elle n'acquiert qu'un nombre fini de branches autour des points critiques mobiles, ce nombre étant le même pour chaque intégrale particulière^ sauf peut-être pour certaines intégrales exceptionnelles formant un ensemble dénombrable.

Mais il est impossible de ne pas se poser la question suivante :

Quelle est la nature de l'intégrale générale y {x) d! une équation (i), quand chaque intégrale particulière est une fonction de X à n branches au plus ou {plus généralement) admet au PLUS n branches permutables autour des points critiques mobiles?

Avant de traiter cette question, j'étendrai les résultats pré-

(^) Toutefois, sous cette forme, l'énoncé comporte une certaine restriction; une fois Téquation (i) ramenée à une équation de Riccati, son intégrale ne sera transcendante que si l'intégrale de cette équation de Riccati n'est pas algébrique. Or, quand on cherche à reconnaître si l'intégrale d^une équation de Riccati (à coefficients rationnels) est algébrique, il est un cas exceptionnel où Ton ne sait pas trancher la question mais où l'on sait seulement ramener l'équation à

la forme — = H (a;), H étant une fonction algébrique de a? à deux branches. u

Toute la difficulté est alors de reconnaître si les périodes de / li{x)dx sont

commensûrables avec aiic, problème d*Abel qu'on ne sait pas résoudre en général. L'énoncé absolument correct répondant au problème du n* 10 serait donc : On sait résoudre le problème à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, ou ramener V équation à la quadrature — = H(a?) rfa?, (H fonction algébrique ^ deux branches).

1 56 3kOTE.

cédents aux équations (iy où le coefficient dîSerentîel est encore rationnel en v. mais non plus en x. Cette extension nous permettra de mieux faire ressortir certaines difficultés particulièrement délicates.

1 1 . Propriétés des équations ( i > rationnelles en y et ana-

ly tiques en x. — Supposons d'abord que. dans l'équation ^ i ), -jr soit

rationnel en y et uniforme (mais non rationnel ) en x. Rien n'est changé aux théorèmes fondamentaux des n"* ï et 3 non plus qu'aux résultats des n"' 5 et 8. à condition de ranger parmi les points \ énumérés p. 8-15 les singularités transcendantes des coefficients de P et de Q /"points essentiels, ensembles parfaits de points singuliers, lignes singulières). Quand l'intégrale générale de l'équation (i) acquiert n branches autour des points critiques mobiles, l'équation se ramène à une équation de Riccati (II) (p. i49) P^^ une transformation (1); mais les coefficients de cette transformation ne sont plus rationnels en x non plus que les coefficients de (II); ce sont des fonctions algébriques rationnelles des coefficients de P et Q et de leurs dérivées jusqu'à un certain ordre.

Supposons maintenant que P et Q soient des polynômes en y dont les coefficients sont des fonctions multiformes de x. Consi-

dérons une branche quelconque de la fonction rrr» et appelons

point ç tout point singulier non polaire x = ç de cette branche, et tous les points énumérés p. 8-i5. Bornons-nous (mais uniquement par raison de clarté) au cas où il n'existe qu'uu nombre fini

de tels points Ç. Si x© n'est pas un point ç, partons de x^ avec une

P valeur^o de y et en adoptant une branche déterminée de pr> puis

faisons décrire à .r un chemin qui ne passe par aucun pointa; toutes les propositions précédentes (n*'* 1-8) peuvent être répétées, moyennant toutefois la remarque déjà faite sur la nature des coefficients des équations (1) et (H), coefficients qui sont alors transcendants.

Cette extension faite, revenons au rôle des points critiques fixes et mobiles.

12. Retour sur les propriétés des points critiques fixes et les

points critiques mobiles. — Soit ^ un point singulier fixe de l'in-

NOTK. l57

régrale générale y {oc) de (i). Par définition (n** 6), le point x^ quand il a parcouru un contour fermé, n'a pas tourné autour du point \ si l'argument de jc — ^ a repris sa valeur initiale.

Par exemple, supposons que œ décrive q fois un cercle de centre Ç dans le sens positif, puis un lacet autour d'un point critique mobile, et enfin q fois encore le cercle C, mais dans le sens négatif. Quand il a parcouru ce contour, x n'a pas tourné autour de $.

Appliquons cette remarque à l'équation (2) étudiée au n" 4

Considérons une intégrale particulière quelconque j^(.r) et la branche de cette intégrale, soil y^ix)^ qui s'annule pour x=^o\ soit r" la valeur de cette branche pour x^ voisin de zéro; si le point X décrit q fois dans le sens positif un cercle C de centre Ç = o (à partir de x^), la branche ^i [x) considérée (holomorphe pour ^ = o), reprend toujours la même valeur en x^.

D'autre part, la fonction y{x) admet le point critique algé-

brique X\= -C'^y*"^^^^] en ce point, deux valeurs de y deviennent égales à — i et se permutent autour de X|. Joignons x^ à x^ par un chemin L tel que quand x décrit L, y{x) partant de x^ avec la valeur j^® ait en X\ la valeur — i ; puis faisons tourner x une fois autour du point x<, revenons au point x^ sur le même chemin L [soit y^i^^^) la nouvelle valeur de j^], et faisons décrire encore q fois à X le cercle C, mais dans le sens négatif. Quand x a parcouru ce circuit total, x ri* a pas tourné autour des points critiques fixes de Véf/uation (2). Mais la branche y^i^c) de y^ admettant x •= o comme point transcendant d'espèce logarithmique, q valeurs Ae y{x) se permutent entre elles dans les q dernières rotations (*) le long de C. Nous arrivons ainsi à cette conclusion d'apparence un peu paradoxale : Vintép^rale y{x) de {2) a deux points critiques fixes x ^= o et x = co^ et un seul point critique mobile [point algébrique au voisinage duquel deux branches se permutent); mais une infinité de branches de y{x) se permutent entre elles quand x tourne autour du point critique mobile sans tourner autour des points critiques fixes.

(') La même chose a lieu si Ton renverse le sens des rotations autour de O.

13. Traçons, dans le plan des x. une demi-droite issue de O. par exemple l'axe réel négatif L. Dans Texemple précédent* le point jt franchit ^ fois cette coupure dans un sens et q fois dans le sens inverse. Qu'arriverait-il si Ton assujettissait le point x à ne jamais franchir la coupure L?

liéfinissons une inié^rBley(x) de (2) par sa valeur r* pour x = i. Il est facile de voir que, suivant que y^ est dans un certain domaine D de son plan ou en dehors de ce domaine, y{x) acquiert deux valeurs ou une seule quand x varie arbitrairement sans franchir L.

Considérons en effet l'intégrale yi^x) qui pourx = a est égale à — I, et sui\ons les deux branches j',, y^ Aeyix) ainsi définies jusqu'au point x = / sur un chemin qui ne traverse pas L. Nous arrivons ainsi en x = i avec deux valeurs j^i z=f^(a)^ y^z=zf^(a) bien déterminées; quand a varie arbitrairement, les deux points yî{ci)f y^ici) varient dans un certain domaine D du plan des y, domaine limité par les lignes que parcourent j'i ely^ quand a décrit la coupure L (*). Ce domaine D n'embrasse pas d'ailleurs tout le plan des y. En effet, soit j^a une troisième branche de l'intégrale y (^•), ei y^ sa valeur pour x = /. Quand x varie à partir du point a sans franchir L, la branche yz{x) ne présente ni en dehors de L ni sur L aucun point critique (-); la valeur de y^ n'est donc atteinte par aucune des fonctions j^, (a), y-xi^^^) quel que soit a.

Donc, quand x varie arbitrairement à partir de x=^i sans jamais franchir la coupure L, r intégrale générale y{x) rfe (2), définie par x = i, y =y^, a deux déterminations si y^ est intérieur au domaine D, et une seule détermination si y^ est extérieur à 1) ou sur la frontière de ce domaine. Ce domaine D dépend essentiellement de la demi-droite L issue de l'origine qu'il nous a plu de choisir.

(•) A un point a de L correspond deux couples de valeurs y,, y^ (et non un seul) suivant qu'on va de a au point x = 1 sur un chemin q^ii part de L d'un côté ou de l'autre. Posons ^''= a -h iv. La frontière de D fait partie de la courbe

u - V tangv, comme on le voit, d'après l'égalité jeJ' = y^ey^ — » en faisant^ = — »»

ic"-: i et en donnant à a: des valeurs réelles (négatives).

('') Autrement, l'intégrale particulière y{x) admettrait au moins deux points critiques mobiles, et l'on sait qu'elle n'en possède qu'un (n**4).

14. De la rotation autour des points critiques mobiles, — Imaginons qu'à la définition adoptée aun"6, au sujet de la rotation de X autour des points critiques mobiles, nous substituions la définition suivante :

Les points Ç étant en nombre fini, traçons à partir de chacun de ces points des lignes s^écartant à Vinfini et sans points communs.

Convenons de dire que V intégrale générale j{x) est une fonction à n branches permutables autour des points critiques mobiles siy quand x varie sans franchir ces coupures, n branches exactement de chaque intégrale particulière y (x) se permutant entre elles {exception étant faite peut-être pour certaines intégrales formant un ensemble dénombrable).

Quelles sont les propriétés qu'entraîne cette définition? Il est bien évident, tout d'abord, qu'elle permet de répéter tous les raisonnements du n" 7 : toute équation qui répond à la définition nouvelle rentre donc dans la classe des équations dont l'intégrale générale j'(j?) est une fonction algébrique de y^. Mais cette définition est beaucoup plus étroite que celle du n** 6, comme le montrent aussitôt les exemples suivants.

Considérons l'équation

dont l'intégrale générale est y = y/log^ -h (y®)*, si y^ est la valeur de y pour x = i , Les points Ç sont ici :r = o et x = 00. D'après la définition du n" 6, l'intégrale y{x) est une fonction à deux branches permutables autour des points critiques mobiles, mais elle ne répond pas à la nouvelle définition. Traçons, par exemple, le demi-axe réel négatif et assujettissons x à ne pas le franchir. L'intégrale y(»r) a deux branches permutables si y^ se trouve dans la partie D du plan comprise entre les deux hyperboles Çyj = ±: ir, {y^z=\-\-r\i)\ si y^ est extérieur à D,^ y{x) n'acquiert qu'une détermination quand x varie sans franchir la coupure. Considérons de même la fonction

lÔO NOTE.

qui vérifie l'équation

elle acquiert quatre déterminations autour des points critiques mobiles, d'après la définition du n" 6. Appliquons la nouvelle définition en prenant comme coupure l'axe réel positif du plan des x\ y{x) acquiert alors deux déterminations sauf pour les valeurs réelles de C. La nouvelle définition n'est donc pas satisfaite. En un mot, elle est beaucoup plus restreinte que la première.

15. On pourrait, il est vrai, ado[)ler la dernière défini tipn en supprimant la restriction qu'elle renferme. Les coupures étant tracées, on conviendrait de dire que l'intégrale générale x(^) est une fonction à n déterminations permutables autour des points critiques mobiles, ûy (x) n'acquiert qu^ /i valeurs au plus quand X varie sans franchir les coupures. Mais si l'on applique cette définition à l'exemple du n" 13, on voit que l'intégrale j^(:r, j'®, x^) de l'équation (2), permutable autour des points critiques, acquiert deux déterminations ou uue seule suivant quç v<^ est dans une certaine région D de son plan ou dans une autre : la région D dépend essentiellement de la coupure issue de ^ = o que nous choisissons. Enfin, y(x, y^, x^) est une fonction de y® à une infinité de branches, La dernière définition proposée est à la fois arbitraire et trop générale. C'est bien la définition du n" 6 qni s'impose dans les problèmes que nous traitons ici.

16. Remarques sur V équation j^'== H(x) -f^ — » oii H est une

fonction transcendante de x, — Les remarques précédentes entraînent des conséquences intéressantes sur l'équation (2) où l'on remplacer? par une fonction transcendante convenable d'une nou-r velle variable.

Considérons, dans le plan des x^ une aire A située tout entière au-dessus de l'axe réel, et limitée par un contour fermé qui n'est nulle pari analytique. Soit j; = F(X) une fonction eff*ectuant la représentation conforme de A sur le cercle F du plan des X qui a l'origine pour centre et pour rayon l'unité. La fonction F(X),

NOTE. l6l

holomorphe dans F, admet la circonférence F comme coupure essentielle.

Si nous remplaçons x par F(X) dans l'équation (2), il vient

dX F(X) jr-+. I ~ ^ 'y-^i

H(X) désignant une fonction de X, holomorphe dans F et présentant cette circonférence comme coupure essentielle. A l'intérieur de F, l'intégrale jk(X) n'a pas de points singuliers fixes.

Supposons, par exemple, que F soit égal à i pour X = o. Définissons une intégrale particulière (y^) de (2 bis) par X=o, y = y^. Je dis que V intégrale y (X) est une fonction uni/orme ou à deux branches selon que y^ est extérieur ou intérieur à un certain domaine D' du plan des y^.

En effet, soit a un point du domaine A; considérons l'intégrale jk(:z:) de (2) qui, pour j? = a, est égale à — i, et faisons décrire à 07, à V intérieur de A, un chemin quelconque joignant les points :z: = a et :r = /; soient, comme plus haut, y^ (a), y^ici) les deux valeurs ainsi obtenues pour 5? == « ; quand a varie dans A, ces deux valeurs y< («), yii^ci) varient dans un certain domaine D' (compris dans le domaine D du numéro précédent). Si y^ est intérieur à D', ^intégrale ^(X) est une fonction de IL à deux branches, admettant la circonférence F comm,e coupure essentielle (* ) ; si y^ est extérieur à D' ou appartient à sa frontière , y(X) est holomorphe dans la circonférence F \^coupure essentielle de y {X)]{^).

Remarquons que l'intégrale générale de (2 bis) est définie par

la relation

soitXo=i, d'oùF = «; l'intégrale j^ = (p(X,jK®), définie par

(») Soit^i(X), Xii^) ces deux branches; yi-i-y^ «^ y 1^2 sont des fonctions de X holomorphes dans V; y{X) admet dans F un seul point critique.

(') Si le domaine A comprend l'origine a; = o, rintégrale>'(X) est une fonction qui a dans T un seul point critique {qui est fixe) ou au contraire deux points critiques, l'un fixe, l'autre mobile, cela suivant que y^ fait partie ou non d'un certain domaine D'. Dans le dernier cas, une infinité de branches de j^(X) se permutent sans que x tourne autour des points critiques fixes.