B. II

102 NOTK.

est une fonction de X à une ou deux branches suivant les valeurs de y^^ définie seulement dans F (coupure essentielle), et une fonction de ^®, à une infinité de branches, Sî y^ est extérieur au domaine D', une seule de ces branches représente l'intégrale y(X ) égale ky^ pour X = o ; toutes les autres branches représentent des intégrales particulières de (2 bis) qui ne se permutent pas dans le champ des X avec la précédente. Si j^® est intérieur au domaine D', la même remarque s'applique à toutes les branches de <f(X, y®), sauf à deux.

Si x® varie et sort de D', une des branches de ^(X, ^®) qui coïncide avec une des deux branches de l'intégrale jk(X) définie par X = o, y=iy^^ cesse de jouir de cette propriété quand y^ franchit la frontière de D'.

Soit j"(.r) l'intégrale de (2) définie par x =^i^ y =y®, et soient y]-) y^i •••î^wj ••• l^s valeurs qu'acquiert ^(a?) quand x décrit, à partir de /, un contour fermé quelconque sans tourner autour des points critiques fixes. Parmi ces valeurs j^J, y\^ . . ., il en est une seule ou il n'en est aucune qui soit une valeur, pour X = o, de la fonction ^(X) définie par X = o, y=y^^ cela selon que j^® est intérieur ou non à D'. Les branches de la fonction y=. ç(X, y^) représentent les intégrales y(X) de (2 bis) qui, pour X = o, prennent les valeurs

y ^ y a y a • • • » j^hj • • • •

17. Dans l'exemple précédent, H(X) est une fonction uniforme à ligne singulière essentielle. On peut former des exemples qui présentent des propriétés aussi curieuses, et où H(X) est une fonction à une infinité de branches, n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers.

//fx . et soient

a)i(X), (02(X) deux périodes primitives de cette intégrale, choisies de façon que, pour X = i , une des valeurs de — ^ soit -j- i.

Posons

ar=— (X)=t(X), d'où X = 0(57),

p désignant line fonction modulaire de x, La fonction xÇS.) est

NOTE^ l63

holomorphe, sauf pour X = o, X = i , X = oo. Ce changement de variables transforme l'équation (2) dans Téq nation

(•2 ter) -^ = — ; — = H(X) -^ — ,

la fonction H(X) représentant une fonction à une infinité de valeurs, holomorphes sauf pour X = o, X = — i, X = oo. Les seuls points Ç sont donc ici les points o, f , 00.

Définissons une intégrale y (X) en prenant X = 1 comme valeur initiale de X, en adoptant pour X = i la branche de 'c(X) qui est égale à /, et en appelant y^ la valeur correspondante de JK(X). Quand X varie arbitrairement, a7(X) varie dans son plan au-dessus de Vaxe réel. Il suit de là quey (X) n^a d^ autres points critiques que X = o, X = — i , X = 00 « y^ est extérieur à un certain domaine D'^ du plan des y^ (*). Si y^ est intérieur à ce domaine, y(X) présente un point critique mobile et un seul.

Quand X décrit dans son plan un contour fermé quelconque sans tourner autour des points X = o, X = i , deux valeurs dey (X) au plus se permutent : en effet, le contour parcouru, a7 = T(X) reprend sa valeur initiale, et, d'autre part, comme x n'a jamais franchi l'axe réel de son plan, la fonction y (a?) correspondante ne saurait prendre que deux valeurs au plus chaque fois que x repasse par sa position initiale.

L'intégrale y {\.) de V équation (2 ter) est donc une fonction à points critiques fixes ou à deux branches permutables autour des points critiques mobiles, selon que y^ est extérieur ou intérieur à un certain domaine T)" .

Les remarques faites au n" 16 sur les branches (en nombre

infini) de la fonction y = cp(X,j'®, X*>), peuvent se répéter ici; seules, deux ou une de ces branches (permutables dans le champ

(*) Considérons la relation yey = y^ey^ —^ et faisons y= — j, x^=i\ dans

réquation y*cr° = > faisons varier x à partir de i au-dessus de l'axe réel,

en adoptant pour a? = i la racine double y" = — i; la racine ^"(a;) décrit alors

le domaine D"; la courbe limite de ce domaine fait partie de la courbe u= v tangt^

(si j^''= a H- iV) {voir le n" 13, p. i58).

l64 NOTE.

desy^) représentent l'intégrale j(X) qui, pour X = X", est égale

Soit X<>== I ; quand y<^ franchit la frontière F de D", une branche

de (p(X, j<>, X®), qui représente l'intégrale j(X,j®, X") d'un côté de r, représente de l'autre côté une intégrale jk(X) dont aucune branche ne prend la valeur y".

Si l'on avait posé

une des valeurs de x correspondant à une certaine valeur X< de X serait nulle. L'équation (2'^) ainsi obtenue présente un quatrième point 5, à savoir X = X| . Quand X varie arbitrairement, x varie dans son plan au-dessus de la droite ,8= — 21 (si x =. ol-\- ^i); selon que y^ est extérieur ou non à un certain domaine D'", la fonction ^(X) n'a que des points critiques fixes ou au contraire un point critique mobile : dans ce dernier cas, la fonction j^(X) a une infinité de branches qui se permutent sans que X tourne autour des

points critiques fixes. La fonction y = o(X,y®, X®) a une infinité de branches qui se permutent dans le champ des y^ ; si y^ est intérieur au domaine D'", toutes ces branches représentent des valeurs de l'intégrale j^(X), dont une des valeurs pour X=i est y^ ; si y^ est extérieur à D^'', une seule de ces branches représente cette intégrale.

18. Quelques remarques sur les équations dont les intégrales y{x) sont des fonctions à n branches en plus. — Les exemples précédents font comprendre toute la diificulté de la question que nous nous posons maintenant :

Quant les intégrales y [x) d^une équation (I) y=Zl^ (P et Q polynômes en J-)

ont n branches au plus, V inté grale générale y = <p(^, ^®, x"^ ) est-elle nécessairement une fonction algébrique de y^^

Si nous ne faisons aucune hypothèse sur les fonctions analytiques aj{x), bj{x)^ coefficients des polynômes P et Q en jk? la

NOTE. l65

réponse est sûrement négative. L'exemple du numéro 16 nous a montré une équation (i) dont les coefficients sont des fonctions uniformes affectées d'une ligne singulière, et dont l'intégrale générale y = ^{x^ y®, x^) est une fonction transcendante de y®, bien que chaque intégrale particulière^ (:f) soit une fonction uniforme ou à deux branches (selon la valeur dejK®)«

Plus généralement, posons-nous la question précédente en admettant seulement que chaque intégrale acquiert au plus n branches autour des points critiques mobiles. L'exemple du numéro 17 nous montre que la réponse est négative y même dans un cas où les coefficients de P et Q sont des fonctions de x n'ayant que trois points singuliers (mais une infinité de branches).

Mais restreignons-nous au cas où 1? et Ç^ sont aussi des polynômes en X et où y{x) admet n branches au plus. Quelle est alors la réponse à la question posée?

Traitons d'abord le cas de /i = 2.

19. Cas où les intégrales y{x) ont deux branches au plus (*). — Soit Q< [y^ x) nn des polynômes qui sont en facteur d^ns Q (polynôme qui se confond avec Q lui-même si Q est irréductible) et soit a: = a, ^ = ji un point de la courbe algébrique

(2) Qi(P, a)=o.

Si a est une valeur quelconque distincte des $, l'intégrale jk(^) qui, pour x =zaL est égale à ji, admet ^ = a comme point critique algébrique autour duquel deux branches ^j , JK2 àe y{x) se permutent : les combinaisons /< -h ^2 et^ijK2 Ti^ont qu'une seule valeur quels que soient x et le point (a, ,3) de la courbe (2); autrement dit, les fonctions

sont des fonctions uniformes de x et du point analytique a, [3, et ces fonctions ne peuvent admettre comme points singuliers trans-

(^) Nous admettons qu^une intégrale particulière, au moins, a deux branches* sinon l'équation serait une équation de Riccati.

l66 NOTE.

cendants que les valeurs x=.\ dans le champ des x et les valeurs a = Ç dans le champ des a. La fonction j^ vérifie Féquation

Supposons d'abord que ^ et y^ ne soient pas tous deux rationnels en a, ^, et soit a = Ç un point transcendant de A (ou de "^); si l'on pose a — Ç = ^^, V étant un entier convenable, ^ est rationnel en. t pour ^ voisin de zéro, et les fonctions ^j; et ^ de (^r, t) sont uniformes en t pour t voisin de zéro ; f = o est donc un point singulier essentiel (au sens de Weierstrass) de if (ou de '£).

Oy y{x) vérifie la relation

(4) r'-^-'K^» Or-+-x(^» ^) = o»

et d'après un théorème aujourd'hui bien établi (*), si dans cette

relation (où x a reçu une valeur numérique a:®), je donne à y une valeur arbitraires^", l'équation en t ainsi obtenue admet une infinité de racines, soit tj, voisines det = Oj sauf pour quatre valeurs

au plus de y^. L'intégrale y{x)^ définie par x^^ y^^ admet donc une infinité de points critiques mobiles a: = a = Ç -f- /y, sauf peutêtre pour quatre valeurs dey®.

Supposons maintenant que J^ et y soient rationnels en a. Il est évident que y est une fonction algébrique de y^. D'ailleurs, l'intégrale y (a:) définie par x^^y^ a deux valeurs, à moins que toutes les racines a définies par

(5) (70)î-H ^{x\ a, p)^o-4- x(^^ a, ?) = o, Qi(a, p) = o

soient confondues avec des valeurs \,

Soit r le nombre des points Ç (en y comprenant éventuelle-

( * ) Le théorème général auquel je fais allusion est le suivant : Si dans la relatioii (E) -"*-f-A,^,(Or''-*-^...-HA,(0=o,

les A- sont uniformes pour t voisin de zéro et admettent ^ = o comme point essentiel isolé, l'équation (E) en t admet une infinité de racines voisines de zéro, sauf pour 3/1 valeurs au plus de y.

'liai

ment $ =00): comme Q(P, a) est au plus de degré g en p, le nombre de valeurs de y^ correspondant d'après (5) aux r valeurs a = i, est au plus de 2mr. D'où ce théorème ;

Théorème. — Quand les intégrales y (x) d'une équation {qui n'est pas une équation de Riccati)

(1) -7^ = ^, ' ^ ' (P et Q polynômes en a?, y)

^ ' dx Q(^, X) ^ r ^

sont des fonctions à deux branches au plus, elles ont toutes deux branches sauf peut-être un nombre fini d'entre elles (*).

L'intégrale générale y =. ç(^, y^, x^) est, par suite, une fonction algébrique de y^ ; on est ramené au cas des numéros 7 et 8.

20. La démonstration s'étend d'elle-même au cas où les coefficients aj(x)j bi(x) de P etde Q sont des fonctions uniformes de^ admettant au moins un point singulier essentiel isolé (^). D'autre part, quand ces coefficients admettent une ligne singulière, l'intégrale générale y(x) peut être une fonction à deux branches au plus, et en même temps une fonction transcendante dey^. Le seul cas qui reste douteux est celui où les coefficients aj{x)^ bi{x) sont des fonctions uniformes admettant un ensemble parfait et nulle part continu de points singuliers.

21. Supposons maintenant que les intégrales y (^) de (i) acquièrent au plus deux branches autour des points critiques mobiles. En raisonnant comme au numéro 19, on voit que les

(^) Ce nombre est au plus égal à 4 à moins que les points critiques de chaque intégrale y{x) ne soient en nombre yî/ii.

(^) J'entends par là qu'un tel point est point essentiel isolé d^au moins un des coefficients a-, b^ et qu'il est, pour les autres, point essentiel isolé, pôle ou point régulier. Soit Ç un tel point : y{x) vérifie une équation de la forme (3), et en éliminant ^ entre les équations (2) et (3), on forme une relation de la forme

r='*-l-A„,(a?, a)y2»-»-+-...H-Ao(a7, a) = 0,

où a = Ç est point essentiel isolé des fonctions A- uniformes en a. Laissons à x une valeur numérique : l'équation en a a une infinité de racines voisines de a, sauf pour q valeurs au plus de y.

l68 NOTE.

combinaisons y^ -+- y2=^(x^ ol^ 3), ^,^2 = ^(07, a, p) sont des fonctions de x n'ayant que des singularités polaires en dehors des points x = ^; ce sont, par .suite, des fonctions du point analytique (a, P), c'est-à-dire de a, qui dans le champ des a ont toutes leurs singularités non polaires fixes; ces singularités sont, ou les points critique» de p(a), ou les valeurs a = $; les singularités transcendantes font parties nécessairement des valeurs a = $ (*). Il suit de là qu'on peut imaginer dans le plan des x une infinité

dénombrable de chemins L allant de x^ en x ^ indépendants de la constante a, et tels qu'on obtienne toutes les valeurs de 'j'(^) et

de 'f^ix) en partant de x^ avec une branche arbitrairement choisie,

et en allant en x sur les divers chemins L. Soit i^^ et i^^ deux branches de *^{x) correspondant aux chemins L|, L2; si pour une certaine valeur de a, ^^ et ^o se confondent, celte valeur satisfait

à la condition ^{{x ^ cl, p) = i{^2(^? ot, p), et une remarque analogue s'applique à la fonction ^. Supposons maintenant que chaque intégrale y (a?) at^quière dans tout le plan des x un nombre ^ni de valeurs. Il résulte des remarques précédentes que ce nombre est le même queJle que soit l'intégrale considérée^ sauf peut-être pour certaines intégrales formant un ensemble dénombrable (^). Par conséquent, on est ramené au cas étudié dans le numéro 7. L'in-

(^) En général, ces valeurs a = ^ sont des singularités transcendantes de ^ et de X' Considérons, par exemple, l'équation

dont l'intégrale générale est

un des points Ç est l'origine et a = est un point essentiel de

Même remarque sur l'exemple

j^2 log jr — loga.

(^) En effet, chaque équation

^,{x, a, p) = 4/j(^, a, p) [avecQ,(a, P)=o]

ne définit qu^un ensemble dénombrable de valeurs a. Une infinité dénombrable de telles équations ne saurait définir qu'un ensemble dénombrable de valeurs a.

* tégrale générale y (x, y^^ x^) est une fonction algébrique de y^. De plus, cette intégrale peut se mettre sous la forme

7'«-f-An-i(a?, a)^"-i-H...-4- A,(a?, a)^-+-A«(a:, a) = o,

m désignant un certain entier, et les Ay des fonctions uniformes de a: et de a qui ne peuvent admettre comme singularités non polaires que les points x = ^ et a = $.

Si les A-y ne sont pas tous rationnels en a, il ne peut y avoir plus de 2 m intégrales y (;r) ayant tous leurs points critiques confondus avec les points $.

Le raisonnement s'étend de lui-même au cas où les coefficients aj(x)^ bi(x) de P et Q seraient algébriques (et non rationnels en x). Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Quand chaque intégrale y (x) d'une équation

F ( y x) y = ^ ^ — - ( P et Q polynômes en y algébriques en x)

n'a qu'un nombre fini de branches et acquiert au plus deux valeurs autour des points critiques mobiles, V intégrale générale y\oc^y^^ x^) est une fonction algébrique de y^, et il n'existe qu'un nombre fini d'intégrales ayant tous leurs points critiques confondus avec les points fixes Ç.

Enfin la démonstration s'applique encore au cas où les coefficients aj(x)^ bi{x) de P et Q sont des fonctions transcendantes à un nombre fini de branches admettant au moins un point singulier essentiel isolé (*).

Cette démonstration peut-elle s'étendre au cas où le nombre maximum n des branches permutables autour des points critiques mobiles dépasse 2? Pour qu'il en fût ainsi (2), il faudrait au préalable avoir démontré le théorème suivant :

(^) J'entends par là qu'un tel point, soit x=\^ n'est pour aucun des coefficients (Zp bi un point limite de points singuliers transcendants et qu'il est point transcendant pour un au moins de ces coefficients.

(') Si «est > 2, mais si Q renferme en facteur un polynôme à la puissance (rt — i), soit [Qi(y, a?)]'*-^ les raisonnements du n« 19 et du n*» 21 s'appliquent sans modifications.

Théorème A (?). — Si dans la relation

les Aj sont des fonctions uni/ormes de t n^ ayant qu'un nombre fini de points essentiels, les points singuliers transcendants de la fonction i (y) ainsi définie forment nécessairement un ensemble dénombrable,

Bien que celle propos! lion ne soil pas douleuse, elle n'esl pas encore démontrée rigoureusemenl, même dans le cas où t{y) est l'inverse d'une fonction entière y (^).

Je vais indiquer brièvement une autre méthode pour étudier le cas de n quelconque.

22. Propriétés des équations dont les intégrales y {x) ont au plus n branches, — Supposons que les intégrales y{x) de l'équation

(■> ■£ = ^(77^ ^-^^ ^ polynômes en x, y)

aient au plus n branches, et que le nombre maximum de ces branches permutables autour des points critiques mobiles soit v(v^ n).

Appelons intégrales exceptionnelles d'espèce im les intégrales qui acquièrent moins de v branches autour des points critiques mobiles (*). Si une intégrale y{x) définie par x®, y^ n'est pas exceptionnelle d'espèce im, le raisonnement du n" 7 montre que les combinaisons symétriques des v branches permutables autour des points critiques mobiles sont des fonctions méromorphes de y^ pour la valeur y^ considérée.

Appelons intégrales exceptionnelles d'espèce if les intégrales qui ont moins de n branches distinctes (^). Si une intégrale définie

par x^^ y^ n'esl pas exceptionnelle d'espèce z/, les combinaisons symétriques de ses n branches sont des fonctions méromorphes de y^ pour la valeur y® considérée (n** 5).

Supposons maintenant qu'une intégrale, soil Y(x)^ définie par

x= x^^y= 6, soit exceptionnelle à la fois des deux espèces im

{}) L^indice m rappelle le rôle des points criliques mobiles. ('') L'indice/ rappelle le rôle des points critiques fixes.

et if. Il peut se faire qu'il existe n chemins indépendants de y^ allant de x^ en x et tels que, poury<* quelconque mais voisin de 6,

y\x^y^^x^) acquière n valeurs distinctes sur ces /i chemins. Quand il en est ainsi, le raisonnement du n" o montre que les combinaisons symétriques des n branches de y (.r, y <>, x^) sont méromorphes pour j^<> = b. Ce cas se présente si Y(^) est une fonction

2i^.z=.n' branches (y étant un certain diviseur de ri) et si les

n branches de y{x^y^^ x^^ se confondent, par ai' groupes dey, avec les ri branches de Y(;r) pour y® tendant vers b (*).

Nous dirons, dans ce cas, que l'intégrale Y(^) est à apparence exceptionnelle y et nous convenons d'appeler intégrale réellement excep tionrie lie loulQ intégrale à la fois exceptionnelle d^ espèce im et d^ espèce if et telle de plus que la condition précédente ne soit pas remplie.

Ceci posé, si les intégrales réellement exceptionnelles forment un ensemble dénombrable, le raisonnement du n" 7 montre que les combinaisons symétriques des v valeurs d'une intégrale ^(j?) permutables autour des points critiques mobiles sont des fonctions rationnelles Ae y^.

Tout le problème est donc ramené au suivant : Les intégrales exceptionnelles à la fois d* espèce im ^^ d'espèce if peuvent-elles former un ensemble non dénombrable?

23. Singularité de y regardée comme fonction de y^, — Admettons que les intégrales exceptionnelles forment un ensemble

non dénombrable, et soit x = x^^ y = c des conditions initiales définissant une telle intégrale. L'ensemble C des valeurs c dans le champ des y^ est, suivant une remarque déjà faite (n** 3), un en-

(*) Si Tintégrale générale de Téquation considérée tsi y = \/x{x— C), l'intégrale Y (a?) qui correspond à C = o est exceptionnelle d'espèce i^, mais non d'espèce if. Si l'intégrale générale est y = \x-\-i-\- Cyjx^ l'intégrale Y (a?) qui correspond à C = o est exceptionnelle d'espèce if^ mais non d'espèce i^. Enfîn, si Fin-

tégrale est définie par — ^ = Car, c'est-à-dire par y = Cx 4- \JCx{x — 1),

l'intégrale Y (a?) qui correspond à C = o est exceptionnelle d'espèce i„ et d'espèce i^y mais n'est ({vl' apparemment exceptionnelle.

semble fermé. Puisqu'il n'est pas dénombrable, trois hypothèses sont possibles :

Ou bien des aires finies du plan des y^ font partie de l'ensemble C\

Ou bien aucune aire ne fait partie de l'ensemble C, mais cet ensemble renferme des lignes (j'entends des ensembles parfaits bien enchaînés ne comprenant aucune aire);

Ou bien enfin aucun ensemble continu bien enchaîné ne fait partie de C,

Dans les deux premiers cas, il existe au moins une ligne (au sens de Cantor), soit L, qui fait tout entière partie de »î^, et dont chaque point a dans son voisinage des points n'appartenant pas à C, Montrons que la chose est impossible.

Pour plus de simplicité, je me limiterai au cas où /i = 2 (l'équation n'étant pas une équation de Riccati). Dans ces conditions, une intégrale au moins, soit Y(^), acquiert ses deux valeurs autour d'un pointa? distinct des points $, et par suite toutes les intégrales y (a?) voisines de Y(^) ont au moins un point critique mobile autour duquel les deux branches àe y{x) se permutent.

24. Démonstration fTun lemme. — Siy^ n'appartient pas à C, à cette valeur correspond au moins un point critique mobile j? = a

de y{x)^ point distinct des \ el oxx y prend la valeur ^ (finie ou infinie) satisfaisant à la relation

Il est loisible de faire en sorte que or = oo ne fasse pas partie des points Ç; posons alors

k étant le nombre des points $. La quantité p, pour chaque valeur de y^ non comprise dans C, a au moins une valeur diflerente de zéro ; j'appelle r{y^) la limite supérieure des modules des diverses

valeurs de p correspondant k y^ ( * ). Je dis que r tend vers zéro quand y ^ tend vers un point c de C et en particulier vers un point quelconque de L.

En effet, supposons qu'il en soit autrement. D'après une proposition aujourd'hui classique de la théorie des limites, il existerait au moins une valeur x =^ X\ (-) distincte des valeurs \ et telle que pour des (') valeurs y^ tendant vers c, a tende vers x^^ j3 tendant par suite vers une des q valeurs y « définies par (*)

Le couple (^i, y^) n'annule pas P(y, x)^ puisque x^ n'est pas un point \. L'intégrale Y(j:) définie par (x = j?<, yz=y^') est une intégrale à deux branches Y^, Y2, permutables autour du point

X =^x^. Quand y^ tend vers c, l'intégrale y (x^ y^, x^ ) bien définie

pour X voisin de x^ tend vers une des deux fonctions Y| (x)

ou Y2(x), et par suite l'intégrale y (jt, c, x^) se confond avec Y (j?). La valeur c ne ferait donc point partie de l'ensemble C.

25. Le lemme précédent entraîne cette conséquence qu^une ligne telle que L ne saurait exister.

En effet, considérons dans le plan des y^ un point P ne faisant pas partie de C et voisin de L, tel que : i " deux certaines droites MA, MB issues de M et faisant un angle de 1 20° rencontrent L en deux points A et B équidistants de M ; 2° un ensemble continu appartenant à L et joignant A, B reste à une distance de M moindre qu'une quantité finie /. Il est loisible d'admettre que M est l'origine. Soient maintenant C^ et C^ les deux ensembles qui se déduisent de l'ensemble C en le faisant tourner autour de M de 120° et de 240"*, et C' l'ensemble formé par la réunion de ^, <1^|, €2^ Appelons D le domaine de tous les points y^ qu'on peut atteindre en partant de M sans rencontrer aucun point de C' ; ce domaine comprend M à son

( * ) r est -t- 00 si une valeur de a correspondant à y* est infinie.

(2) 37, pourrait être -+-00, mais en changeant x en on ramènerait x, à

distance finie.

(^) Mais non pas nécessairement pour toutes les valeurs^* voisines de c.

( * ) Il est loisible de supposer (moyennant un changement homographique suvy) que q = p — 2, et que Q(^ir x^) est bien de degré q en y.

intérieur; il est intérieur à un angle de centre M et de rayon /; il est donc limité par une ligne fermée, soitX. Ceci posé, e désignant

cos -z — \- i sin — > considérons l'expression

Cette fonction peut avoir une infinité de déterminations ; appelons s{y^) la limite supérieure des modules de ces valeurs pour ^<> donné. Si y® fait partie de C\ s(y^) est nul et réciproquement. La quantité s{y^) s'annule (*) sur la frontière X de D; elle est différente de zéro en M; appelons S la limite supérieure de s{y^) pour y^ variant dans D.

D'après un théorème classique de la théorie des limites, il existe au moins un point Q ou y^^= b appartenant au domaine D ou à ses points frontières et tel que, pour des valeurs y^ tendant vers è, le module d'une branche, soit (t<, de '^{y^) tende vers S. Il suit de là (n" 24) qu'il existe dans le champ des x au moins un point, soit Xs^ distinct des $, et qui jouit de la propriété suivante : pour

des valeurs de y^ tendant vers 6, l'intégrale y (:r, y®, ^® ) a un point critique a tendant vers x^ et donnant à ^{y^) une valeur dont le module tend vers S ; la valeur de y correspondant à ^ = a tend vers une racine j^< de Q(j>^<, a?<) = o.

Considérons donc l'intégrale à deux branches Y(.r) définie par

a? = ^Ti, y =: y^'^ une de ses valeurs pour ^ = ^<> coïncide nécessairement avec b. La branche de la fonction a"(y®) qui, pour y^ = è, correspond à a = ^i, est algébroïde finie et différente de zéro pour y^= b; mais, d'autre part, son module est égal à S et, par suite, on a

pour j^® voisin de è, ce qui est impossible (^).

( ^ ) Du moment que M a été pris très voisin de L et / très petit, la quantité r{y^) est très voisine de zéro dans le domaine D voisin de L, et par suite aussi /'(ejK*)» r(e';K")j car D se transforme en lui-même par une rotation de i8o' ou de 2^0* autour de M. Comme r{y^) s'annule en tout point de C, il en est de même du produit s=.r{y^) r{ey^) r(6'y"). Ce produit s'annule donc en tout point de C\ De plus, la limite supérieure de s(jk") dans D est finie (et même petite).

(^) Quand une fonction analytique est algébroïde pour une valeur de la variable, il est impossible que son module soit maximum pour cette valeur.

Nous avons donc démontré ainsi ce théorème :

Théorème. — // est impossible que V ensemble fermé C du plan des y^* comprenne un ensemble continu,

La démonstration précédente suppose /i = 2. Elle s'étend moyennant quelques complications au cas de n quelconque. On démontre que, quand j>^® tend vers un point c de C^ un point critique mobile

au moins, soit a? = a, de y (a:, y®, x^) tend vers un point Ç. On en déduit ensuite que C ne peut comprendre d'ensemble continu (*).

26. Cas où l'ensemble fermé C ne comprend aucun ensemble continu. — Considérons une intégrale y(x) à n branches, et les combinaisons symétriques A„i = S j>^4, ^ti-2 = ^yiy2^ ... de ces n branches. Les expressions An^i<, A;,2j ••• sont des fonctions uniformes de x et de y^^ qui, dans le champ des a?, n'ont pas de points transcendants en dehors des points Ç et dans le champ des y^ n'ont pas de points transcendants en dehors de l'ensemble discontinu C.

Les fonctions j^( a:) vérifient la relation

(3) y-^-^n-iiop.y^ 5ô)jr«-i H...-|-Ao(a:, jo, x^) = o.

Inversement, on a

Si les coefficients Ay(^, y^^ x^) admettent dans le champ des y^ un point transcendant isolé, ce point est un point essentiel de Weierstrass, et nous savons (n® 5) que les deux équations (3) et (4) ne peuvent avoir lieu simultanément.

Donc, les Ay sont ou des fonctions rationnelles en y^^ ou des fonctions admettant un ensemble parfait et partout discontinu de points transcendants.

Je dis que, dans ce dernier cas, aucun des coefficients Aj{y^) ne peut être indéterminé dans le voisinage d'un point singulier y<*= c.

En effet, s'il en est autrement, une racine au moins de (3),

soit y=zy^ (^, yo^ x^) est indéterminée quand y® tend vers c. Or, (') Voir la thèse de M. Zoretti {Journal de Mathématiques^ 1906).

considérons les valeurs au pointer de toutes les intégrales y(jc) réellement exceptionnelles. Ces valeurs forment dans le plan des y^

un ensemble soit C"^^ partout discontinu, Siyt {^^y^j ^®) est indéterminé quand j^® tend verse, il existe, en dehors de l'ensemble C^c,

une valeur Y vers laquelle (•) lendyyx, y^y x^) pour des valeurs

de y^ tendant vers c. ^Or, l'intégrale y{x) définie par x = Xj y = Y '\- t (ê étant nul ou petit), a pour x = x^ n valeurs vérifiant (4) et distinctes de c;.pour certaines valeurs de e, elle devrait en avoir une (/i+ i)**'™* très voisine de c, ce qui est impossible.

En conséquence, si les Ajix^y^, x**) admettent un ensemble parfait partout discontinu de points transcendants y® = c, chaque fonction Ay est ou continue ou infinie pour^®=c et, dans ce

dernier cas, -r- est continu pour r**= c.

Or, de telles fonctions ne peuvent exister si l'on admet le théorème suivant :

Théorème B. — Une fonction uniforme, continue dans une aire D, et qui est holomorphe dans cette aire sauf peut-être pour un ensemble parfait partout discontinu de points singuliers, est holomorphe dans toute Vaire,

Ce théorème a été démontré par M. Zoretti dans sa thèse. Toutefois, sa démonstration prête à certaines critiques. Il serait très intéressant que le théorème B fût mis hors de toute discussion.

Ce théorème une fois admis, nous aboutissons à la conclusion suivante :

Quand les intégrales y {x) d^une équation (■> £ = 5(77f) (P. Q polynômes en ^, a;)

ont n branches au plus, V intégrale générale y\x^ y^^ x^) est une fonction rationnelle de y^,

La démonstration s'étend sans peine au cas où les coeffi-

(^) Il en existe même une infinité formant un ensemble continu.

NOTE. lyy

cients aj(x), bi{x) des polynômes P et Q en y sont des fonctions transcendantes de j: à un nombre fini de branches, qui n'admettent qu'un ensemble dénombrable de points singuliers.

27. Conclusions sur les équations dont les intégrales y{x) ont n branches au plus, — Des deux méthodes que nous venons d'indiquer (*) pour traiter la question posée, la première résout complètement la question dans le cas de n = 2, mais pour être étendue au cas de n quelconque elle exigerait la démonstration préalable d'un théorème de la théorie des fonctions, à savoir le théorème A du n° 21, théorème qui, dans le cas le plus simple, exprime que la fonction x{y) inverse cl^ une fonction entière y{x) ne saurait présenter dans le champ des y qu\ni ensemble dénombrable de points singuliers transcendants.

La seconde méthode s'applique d'elle-même au cas de n quel-

(^) On pourrait suivre une troisième mélhode dont le principe est le suivant : (|uand y^ lend vers une des valeurs exceptionnelles c, un point criliquc mobile a? = a tend vers un point Ç, soit Ç = o, la valeur correspondante de jk, à

savoir p =y ( a, ^', a;"), tendant vers une des valeurs, soit jk — o, définie par Q(a, p) = o. Supposons que x ne soit pas en facteur dans (^{x, y) (pour y arbitraire) : le couple j? = o, y = o doit annuler non seulement Q, mais P; autrement, Téquation (i) serait régulière pour j? = o, y = o et le raisonnc-

ment du n" 24 s'appliquerait. La fraction pr est donc de la forme - pour x = o,

y = o. Admettons maintenant que nous soyons dans un cas où Tintégrale peut se mettre sous la forme

(e) X{Xf y)i Y{Xy yy= C (C = const. arbitraire),

X, Y désignant deux fonctions holomorphes à l'origine x = o, y = o^ et les deux courbes X = o, Y = o ayant i^origine pour point simple commun. Par hypothèse, les intégrales ^(07 ) étant des fonctions à n branches au plus, on voit aussitôt que la constante numérique s doit être réelle et commensurable (positive ou négative).

Pour une certaine valeur de C (correspondant à a; = a:", y =x c), la courbe (c) doit se décomposer : or cela n'est possible, si s est positif, que pour C = 0.

Si s est négatif, soit s= — j;> cela n'est possible que pour G = o et G = 00

pour C = o, par exemple, k branches d'intégrale y{x) viennent se confondre avec la courbe X = 0. La méthode consisterait à étendre ces résultats à toutes les singularités d'une équation (1), si compliquées qu'elles fussent. Autrement dit, il faudrait démontrer que, parmi toutes les branches d'intégrales y = /( a?) qui existent pour x voisin de Ç, celles qui correspondent à des courbes intégrales décomposées ou confondues sont en nombre fini, ou du moins sont dénombrables.

178 NOTfi.

conque, mais elle suppose un autre théorème de la théorie des fonctions, à savoir le théorème de M. Zoretti sur les fonctions uniformes admettant un ensemble parfait discontinu de points singuliers transcendants (théorème B du n" 2G). Elle serait pleinement satisfaisante si ce théorème était établi d'une façon irréprochable. Il est intéressant de constater le rôle essentiel que jouent deux propositions d'apparence abstraite et générale de la théorie des fonctions dans un problème aussi naturel et simple que celui-ci. ♦

Etudier les propriétés des intégrales y{x) d'une équation différentielle algébrique du premier ordre et du premier degré, quand ces intégrales sont des fonctions à n branches au plus,

28. Les considérations précédentes démontrent dans le cas de /i = 2 et mettent hors de doute dans le cas de n quelconque, ce fait que l'intégrale générale d'une telle équation dépend algébriquement de la constante jk" (0-

Posons-nous maintenant la question suivante :

Quand chaque intégrale y {x) d'une équation

acquiert au plus n valeurs autour des points critiques mobiles, l'intégrale générale est-elle une fonction algébrique de y^ (^)?

(*) Remarquons que, cette question une fois résolue, une autre question se dose encore :

Existe-t-il des équations (i) dont chaque intégrale a un nombre fini de valeurs, sans que ce nombre admette une limite supérieure?

Tous les raisonnements précédents supposent, en eiïet, ce nombre au plus égal à n. Bien que Fexistence de telles équations soit tout à fait invraisemblable, la question demanderait ù être tranchée rigoureusement.

(^) Adoptons, pour un instant, la définition proposée au n° 13 : traçons à partir de chaque point l des demi-droites (coupures) sans point commun, et supposons que l'intégrale ^(^) acquière au plus n valeurs quand x varie sans franchir ces coupures. L'intégrale générale y{x) est-elle nécessairement une fonction algébrique de jK°? l^a réponse est alors sûrement négative, comme le montre l'exemple du n" 13, où y acquiert deux déterminations ou une seule suivant que y* est intérieure ou non à une certaine aire.

Bien que la réponse doive bien vraisemblablement êlre affirmative, une méthode très différente de celles des n°* 21 ou 26 sera nécessaire pour résoudre la question. En efl'et, d'une part, la méthode du n" 21, dans le cas de /i = 2, nous montre seulement que jKi + JK2 et jKijK2 sont des fonctions de ^ à points critiques fixes mais qui admettent ici une infinité de branches. D'autre part, la méthode des n°* 24-26 s'apj)uie sur ce fait que

quand l'intégrale j^(^, y®, x^j tend vers une intégrale exceptionnelle yy^f c, ^^), un point critique mobile au moins, soit x = a, tend vers un point Ç. Or, quand les intégrales j>^(:r) admettent une infinité de branches, il peut se faire qu'un point critique mobile X = en devienne indéterminé quand Vo tend vers c. C'est ce

que montre 1 exemple ^= — dont l'intégrale générale définie

par x^=i, yz^y^ est

pour y^ ^ o, y(x) acquiert deux valeurs autour du point critique

mobile x = e ^» ; pour y® = o, y{x) se réduit à jk ^ o, et le point

critique x = e ^» est complètement indéterminé quand y^ tend vers zéro.

29. Si les coefficients aj^x), bi[x) des polynômes P et Q en y ne sont non plus rationnels mais sont des fonctions de ^ à un nombre fini de branches admettant un ensemble dénombrable de points transcendants, les méthodes des n°® 21-26 s'appliquent encore ainsi que leurs conclusions. Mais si les coefficients sont des fonctions analytiques quelconques, la réponse aux questions des jjos 27 et 28 est négative.