I. — Points OÙ le théorème de Cauchy n^est pas applicable

J'ai fait allusion aux propositions capitales démontrées par M. Painlevé relativement à l'équation

où P et Q sont des polynômes en y. C'est sur ces propositions que nous fixerons tout d'abord notre attention. Mais, au préalable, il nous faut dire quelques mots du théorème de Cauchy et des points où il cesse d'être applicable.

Soit Xq^ yo un système de valeurs au voisinage duquel le coefficient différentiel y*( a:, y) est holomorphe. L'existence d'une intégrale holomorphe unique, égale à jko pour x = Xq^ est établie par le théorème de Cauchy, que nous énoncerons en ces termes (*) :

Soit f{x^ y) holomorphe dans le domaine \x — ^o( = ^j I y — y^ I ^ p. Il existe une fonction de x satisfaisant à Véqua^ tion différentielle (i), égale à y^ pour x = x^^ et holomorphe autour de x^ dans un cercle de rayon au moins égal {^) à

Soit, d'autre part, L un chemin quelconque, de longueur finie ou infinie, convergeant vers Xq (c'est-à-dire satisfaisant à la condition suivante : quelque petit que soit e, il existe sur L un point :r<

(*) Voir, par exemple, Picard, Traité d'Analyse, t. II, Chap. XI. (^) La valeur exacte du rayon de convergence serait une valeur plus élevée. Cf. le Traité d'Analyse de M. Picard, t. II, Chap. XI.

tel que, à partir de x^^ le chemin L ne sorte plus du cercle de centre Xq et de rayon e). Imaginons qu'il existe une fonction de x qui satisfasse à l'équation diflerentielle (i) et qui, lorsque x tend vers Xq sur le chemin L, tende vers la valeur ^o- Cette fonction ne saurait être distincte de V intégrale holomorphe définie dans la première partie du théorème (* ).

Du théorème de Cauchy on peut déduire le corollaire suivant :

Si /(x, y) est holomorphe au voisinage de x = Xq^ y ^=yo, Vintégrale y = f (^, y'^^, x[^)^ qui prend en x^ la valeur y'^^ est une fonction holomorphe des trois variables x^ y'^^ x^, pour x et Xq voisins de ^r» ety'^ voisin de yo.

En efl'et, lorsque aj^, jkJ» sont situés dans un certain domaine fini autour de Xq^ yo^ /{^j X) ^st développable par rapport aux puissances de (x — x'q)^ (y — jvi)? ^^^ coefficients étant des fonctions holomorphes de x\^ ^^ y'o' D'autre part, l'intégrale y est développable (au voisinage de x^=Xq) par rapport aux puissances de (x — Xq) et les coefficients du développement sont (d'après le théorème de Cauchy) des fonctions rationnelles des coefficients def(x, y). On en conclut (^) que l'intégrale y est fonction holomorphe des trois variables (x — x^), x^^ y^.

Le théorème de Cauchy est en défaut lorsque la fonction /(x, j^) de ;r et ^ présente une singularité pour x = Xo^ yz=yQ. Les points Xq où il en est ainsi se répartissent entre plusieurs catégories.

Première catégorie, — Supposons d'abord que Q(^07 yo) s^ annule en Xo pour Une valeur isolée de yo, P et Çl étant holo-

(*) Sur cetle forme de l'énoncé du théorème de Cauchy, et sur le corollaire qui suit, voirj en particulier, les Leçons de Stockholm de M. Painlevé, p. i8.

(^) Je m'appuie sur la proposition suivante que l'on déduit des propriétés des fonctions de deux variables {consulter, par exemple, Picard, Traité d* Analyse, t. II, chap. IX). Soit une fonction de deux variables, g{x^ (jl), développable sous la forme g{Xf jx) = £g',(jx)a7*, les coefficients gi étant des fonctions holomorphes de {X pour | {x j < t, et le développement convergeant absolument pour I jx I < T, I a? I < r : g est une fonction holomorphe des deux variables x et \l pour I a? I < r, I [JL I < T.

morphes au voisinage de Xq, Jq, et P (jto? /o) étant différent de zéro.

Pour étudier ce cas, bien connu, on considère l'équation (i) sous la forme

dy P(a7, j) f{x,y)

Le coefficient différentiel de l'équation (2) est holomorphe au voisinage de Jio, y,)- D'ailleurs, puisque Q(^oî y) admet jKo comme

zéro isolé, le développement de -r-, r contient des termes indé-

pendants de 57 — Xq^ que l'on peut ordonner par rapport aux puissances croissantes de y — y^. Soit m le degré du premier de ces termes. Le théorème de Cauchy montre que l'équation (2) admet une et une seule intégrale égale à x^ pour^=:j^Oî intégrale qui est holomorphe et développable sous la forme

On en conclut que l'équation (1) admet une et une seule intégrale égale à jko pour x =. Xq^ et que cette intégrale est dévelop-

pable autour de Xq par rapport aux puissances de (.r — Xq)'^'^^ : le point Xq est donc pour elle un point critique algébrique autour duquel se permutent m + i déterminations.

Nous dirons que l'intégrale y ainsi définie est algébroïde ( * ) au voisinage de x^. Nous signifions par là qu'autour de x^ cette intégrale se comporte comme une fonction algébrique.

Prenons maintenant des conditions initiales ^Jj, y'^ voisines de .To, ^0- Je dis que V intégrale y = o(x^ y^^ x'^) qui est égale à y^ en x'^ est une fonction algébroïde des trois variables x, y\^^ x'^ pour X et x'q voisins de Xq, y'^ voisin de yo>

Soit, en effet (-),

(^) On dit qu'une fonction est algébroïde dans une région R si elle est représentable, dans cette région, par une relation de la forme n{x, y) = 0, II étant un polynôme en y et une fonction de a; holomorphe dans la région R.

(') C/. les Leçons de Stockholm de M. Painlevé, p. 34-35.

l'intégrale de Féqualion (2) déiînie par les conditions initiales x^^ y^. D'après le corollaire de la page 9, d* ^st une fonction holo-

morpbe de jk, ^i? ^oj lorsque |y— ro|, \x'^ — Xo\, 1/0—70! sont inférieurs à un certain nombre X. La fonction cp ne saurait donc présenter d'autres singularités que des singularités algébriques au voisinage des valeurs initiales Xq^ yo^ joq. Soit, d'autre pari, q le nombre des zéros de à(y^ Xqj yo) confondus en y =yo- Décrivons dans le plan y autour de y^ un cercle F, de rayon moindre que X, tel que (*) (pour Xo, x'^^ y^ situés dans un certain domaine D autour de x^ ^o? ^o) le module de la fonction de y^ ^{y^ x'ç^y y'^) — (x — x'f^) reste, sur le contour de F, supérieur à un nombre positif M. Lorsque x^ .rj,, y'^ varient dans le domaine D,

les zéros de la fonction ^{y, -^o^yo) — (^ — ^0) ^^J* 4^^ ^^^^ situés dans F se déplacent avec continuité; mais ils ne peuvent sortir de F puisque 'S^ — (x — x'^^) ne s'annule pas sur le contour de F. Je dis que ces zéros sont, à l'intérieur de F, en nombre q exacte-

ment. En effet, leur nombre est éeral à rintée;rale"v/ •; r r:'

Or, cette intégrale, qui a une valeur entière, est égale à q pour X = x'q= Xq, y'^ ^^yoj d'autre part, elle est, sur le contour de F, une fonction continue de x^ J7„, y'^^ dans le domaine D. Elle reste donc égale à q dans tout ce domaine. En résumé, lorsque x^ x^, v'q varient dans un certain domaine D autour de x, ^o? JK05 l'iii" tégrale ^ = ©(j7, j^09 ^0) ^^ présente que des singularités algébriques et n'admet que q déterminations (intérieures à F) : c'est une fonction algébroïde.

Passons maintenant à l'examen des points singuliers qui n'appartiennent pas à la première catégorie définie plus iiaut, et répartissons-les à leur tour.

Deuxième catégorie, — Supposons que P et Q^ soient hoiomorphes au voisinage de Xq^ yo^ et que Von ait

^"(^0, ro) 5^ o, Q(a7o, 7o) = o,

(*) Puisque jKo est un zéro (multiple) isolé de 4^ — (^ — <a7o) '1 existe bien un cercle V répondant aux conditions voulues lorsque x = x's^ = x^, y^ = y^) la continuité de 4* niontre alors que ce cercle existe encore pour x^ Xq voisins de Xq, y'^ voisin de y^.

cette dernière égalité étant identiquement satisfaite (au point Xq) pour toute valeur de yo' En d'autres termes, soit Xq

un pôle de ^ ' quel que soit y\

Dans ces conditions, le coefficient diflférentiel de Téquation (2) ne contient pas de terme indépendant de :c — Xq\ l'intégrale holomorphe de (2) se réduit k x-=. Xq^ et le raisonnement qui nous a servi tout à l'heure est inapplicable.

Des exemples simples montrent qu'un point x^ de la deuxième catégorie peut être point singulier transcendant pour les intégrales de l'équation (1).

Ainsi l'équation

dx X

a pour intégrale générale y = Ca:^\ Or, si A est un nombre complexe ou irrationnel, cette intégrale admet une infinité de déterminations qui se permutent autour de l'origine et diflfèrent entre elles j)ar des multiples de e-'^^.

Pareillement, l'équation

dy^ a-^y dx X*

admet l'intégrale générale

y -h a = Ce -*" , pour laquelle l'origine est un point transcendant.

Troisième catégorie. — Supposons que Von ait, pour une ou plusieurs valeurs isolées (*) deyo,

P(-2^o, yo) = Q(aro, yo) = o,

1? et Q étant holomorphes au voisinage de Xq^ yo.

Le coefficient différentiel se présente alors, pour x = Xo^ y=yo',

(*) Si ces valeurs n'étaient pas isolées, les égalités P(^o> ^o) = Q(^«> Xo) = ® devraient être identiquement vérifiées (au point x^) quel que soit^Q. Chacun des polynômes P et Q admettrait alors comme facteur une certaine puissance de {x — Xq), et, en éliminant le facteur commun à ces polynômes, on serait ramené à Pun des cas déjà étudiés.

NOTIONS FONDAMENTALES. l3

SOUS la forfme indéterminée -• En ce cas encore, le point Xq peut

être point singulier transcendant pour les intégrales de l'équation (i). Ainsi nous verrons plus loin (Chap. III, p. 67) que l'origine est un point transcendant pour l'intégrale générale de l'équation

dy ^ OLy -h ^x

dx y

Remarquons en passant que, si l'on se donne une équation (1) algébrique en x^ on saura toujours déterminer algébriquement les points singuliers de la troisième catégorie que peuvent présenter ses intégrales : ce sont les racines x^ du système d'équations simultanées P(:r, y^ = o, Q(^, y) = o,

Quatî'ième catégorie, — Supposons maintenant que Uune au moins des fonctions P et Q ne soit pas holomorphe a{i voisinage de JTo, ^0- P et Q étant des polynômes en jk? il faut, pour que cette circonstance se présente, que Xq soit point singulier d^un coefficient au moins des polynômes P e^ Q.

Lorsque Xq est un point critique algébrique pour les coefficients de P et Q,*ces coefficients sont, au voisinage de x=^Xq^ des fonctions holomorphes d'une puissance fractionnaire de x — Xq. Le changement de variable x — Xq=^ t"^^ où m est un entier positif, nous ramène alors à l'un des cas précédemment examinés.

Lorsque Xq est un point singulier transcendant des polynômes P, Q, il est clair que les intégrales de l'équation (i) admettent en général Xq comme point transcendant.

Les points Xq où, pour certaines valeurs (finies) de y^^ le théorème de Cauchy cesse d'être applicable appartiennent nécessairement à l'une des quatre catégories qui viennent d'être énumérées. Entre ces points il y a lieu de faire une distinction.

Nous remarquons que les points de la première catégorie (s'il en existe) sont des points arbitraires. En effet, s'il existe des points de la première catégorie, Q(^oîyo) dépend, par définition, àe y^ et s'annule par suite, quel que soit Xq^ pour une ou plusieurs valeurs de^o. Il y a donc toujours une ou plusieurs intégrales de l'équation (1) qui admettent comme point de la première catégorie

l4 CHAPITRE I.

un point Xq quelconque. Pour exprimer ce fait, M. Painlevé dénomme les points singuliers de la première catégorie points critiques mobiles de l'équation (i). Ce sont toujours, nous l'avons vu, des points critiques algébriques.

Au contraire, les points singuliers de la deuxième, de la troisième et de la quatrième catégorie sont des points, en général (*), isolés, dont la situation ne dépend pas de la valeur choisie pour y^, mais seulement des coefficients des polynômes en^, P et Q. On les appelle, pour cette raison, points singuliers fixes {cf. p. 6). Ce sont, en général, des points transcendants. Notons de plus que, si P et Q sont des fonctions algébriques de x^ le nombre des points singuliers fixes est nécessairement fini.

Cinquième catégorie , — Nous avons supposé jusqu'ici que y© avait une valeur finie. Pour être complets (2), nous devons encore examiner la ou les intégrales de V équation (1) dont la valeur est infinie au point Xq, Ces intégrales admettent-elles Xq comme point singulier, et de quelle nature?

Faisons le changement de variable ^ = -- L'équation (i) se transforme en une équation de même forme

dz ^ Pi(a7, z)

^^ dx Qi(:r,^)'

Pi et Qi étant des polynômes par rapport à -s. Sur l'équation (3) nous pourrons répéter la discussion faite tout à l'heure sur l'équation (1), les valeurs initiales à considérer étant ^= x^^ ^ = o.

L'intégrale z de (3) qui s'annule en x^ peut être une fonction holomorphe de x au voisinage de x^. Son inverse admet alors x^ comme pôle. Les pôles sont, pour les intégrales de l'équation (i), des points singuliers mobiles.

L'intégrale -S peut également être algébroïde au voisinage de Xq :

(•) Ces points sont isolés si les singularités des coefficients de P et Q sont elles-mêmes isolées.

(') Nous continuons à supposer que Xq a une valeur finie. Si x^ était infini,

on transformerait l'équation en opérant le changement de variable a? = ^•

NOTIONS FONDAMENTALES. l5

son inverse y admet alors Xq comme point critique algébrique (mobile) (').

Enfin l'intégrale z, et par suite son inverse j', peuvent admettre Xq comme point singulier transcendant (fixe).

Remarquons que les points singuliers des coefficients de P^, Qi

P et les points qui sont des pôles de r^- quel que soit z^ ne diffèrent

pas des points singuliers de P, Q, et des points qui sont des pôles de

-^ pour j^ quelconque. Gomme points singuliers fixes des intégrales

de (3) qui n'aient pas déjà été décelés par l'étude de l'équation (i),

nous n'obtenons donc que les points (s'il en existe) où l'on a à

la fois

Pi(^o, o)= G, Qi(a?o, o)= G.

Ces points constituent une cinquième catégorie de singularités pour les intégrales de l'équation (i).

Pour clore cette discussion, nous en dégagerons en ces termes la conclusion : Appelons $i, $2? ••• les points singuliers fixes de l'équalion (i). Ce sont les points des catégories deuxième, troisième, quatrième et cinquième, que nous déduisons directement des coefficients de P et Q. Si l'on considère un point quelconque Xq^ distinct des points Ç, l'intégrale qui est égale à jo ou à l'infini

pour x = Xq est unique. Pour cette intégrale, Xq est un point d'holomorphisme, un pôle ou un point critique algébrique.