II. — Théorème de M, Painlevé

Dans le paragraphe précédent, je me suis placé au point de vue local des fondateurs de l'Analyse moderne : je me suis donné a />/'for« des conditions initiales a?0)^oî et j'ai considéré au voisinage

(^) Les corollaires des pages 9 et lo s'étendent à ces deux cas : V intégrale j^ = (p(a7, yj, a7j), qui est égale àyj, en a?^, est une fonction méromorphe ou algébroide des trois variables x^ yj, x\ pour x et x'^ voisins de Xq, y'^ voisin de V infini.

l6 CHAPITRE I.

de Xq la ou les intégrales de l'équation (i) que définissent ces conditions. Je vais maintenant me poser, avec M. Painlevé, une question plus générale. Etant donnée une intégrale Y de l'équation (i), définie par la valeur C qu'elle prend en un certain point fixe Xq, que devient cette intégrale lorsque jt décrit à partir de Xo un chemin L quelconque ?

Considérons un point Xq du chemin L. Si Xq coïncide avec l'un des points (*) singuliers fixes $<, $2? ••• q^ie nous avons définis plus haut, Xq sera en général une singularité transcendante des intégrales de (i). Si Xq ne coïncide pas avec un point $, nous devrons envisager les deux hypothèses suivantes :

i" Lorsque x tend vers Xq sur le chemin L, Y tend vers une valeur déterminée yo? finie ou infinie;

2" Lorsque x tend vers Xq sur le chemin L, Y ne tend vers aucune limite.

Dans le premier cas, les théorèmes du paragraphe précédent nous apprendront que Xq est pour l'intégrale Y un point d'holomorphisme, un pôle ou un point critique algébrique. Dans le second cas, ces théorèmes seront inapplicables.

Les analystes restés fidèles au point de vue de Gauchy avaient implicitement admis que le premier cas seul peut se présenter. C'était là, notons-le, un postulat gratuit (^) : car il n'y a a priori aucune raison de supposer que Xq n'est pas point d'indétermination pour l'intégrale Y. M. Painlevé, le premier, tira la question au clair et il démontra que, si Xq est distinct des points Ç, Y tend nécessairement vers une valeur déterminée lorsque x tend vers Xq sur le chem,in L.

Voici comment nous établirons cette proposition. Marquons

dans le plan y les différentes racines ^, , . . ., y^ de l'équation

Puisque Xq n'est pas point singulier pour Q et P, nous pouvons décrire autour des points y^, . . ., y y, des contours d'ailleurs arbi-

(^) Nous nous bornons au cas où les points (^) sont des points isolés. (^) Défait, ce postulat ne serait pas exact si l'équation difTérentielle étudiée était d'un ordre supérieur au premier.

trairement petits yi, ..., y^ tels que les racines y de l'équation

soient intérieures à ces contours tant que \x — Xq\ est plus petit qu'un certain nombre p ; de plus il existe un nombre fini H tel que l'on ait, pour j^ situé sur le contour d'une courbe v (et pour

Traçons encore dans le plan Y un cercle F, de rayon très grand, ayant l'origine pour centre. On peut déterminer H de manière que l'inégalité (4) reste satisfaite (pour \x — ^o|<p) lorsque y est intérieur au cercle F et extérieur à tous les cercles y.

Cela posé, admettons que Y, déterminé entre X et Xq sur le chemin L, devienne indéterminé en Xq. Je dis que cette hypothèse conduit à une contradiction. En effet, si l'intégrale Y ne tend (quand x tend vers Xq) ni vers l'infini, ni vers une racine de

Q(j?Q, j'), il existe nécessairement sur L des points x arbitrairement rapprochés de Xq où Y est extérieur aux y, intérieur à F et satisfait par suite à l'inégalité (4). Or on sait qu'autour de tout

point ;r où T=r et Y sont finis, Y est holomorphe et développable

dans un cercle c de rayon fini. Lors donc que x passe par la série

des valeurs x qui convergent vers jJq, le rayon du cercle c tend vers une limite non nulle : en sorte qu'à la limite Xq est intérieur à c, ce qui prouve que Y est holomorphe au point Xq. Ce résultat étant contraire à l'hypothèse faite, cette dernière est à rejeter, et le théorème est démontré.

En nous appuyant sur le théorème de M. Painlevé, nous pourrons préciser en ces termes la conclusion du paragraphe précédent :

£n dehors des points singuliers Jixes (S), une intégrale quelconque de V équation (i) n'a pas d'autres singularités que des pôles ou des points critiques algébriques.

Appliquons, par exemple, ce résultat à l'équation

(5) ^ -+-Ao+A,^ + A,^«^-A3 73=:o,

OÙ les A sont des polynômes en x. Soit x^ un point quelconque : toute intégrale finie y est holomorphe; mais l'intégrale qui est infinie en Xq admet ce point comme point critique autour duquel se permutent deux déterminations. Quelles sont, d'autre part, les singularités non algébriques de l'équation (5)? Ce ne peuvent être, d'après le théorème de M. Painlevé, que les points fixes appartenant aux diverses catégories énumérées au dernier paragraphe. Or,

puisque le dénominateur du coefficient différentiel -rr se réduit ici

à l'unité, il n'y a pas de points des catégories deuxième, troisième et quatrième. Reste à considérer les points singuliers des coefficients A (il n'y en a qu'un : r infini) et les points obtenus en annulant le numérateur et le dénominateur de l'équation transformée

•>'=^'' di- i '

ces points sont les zéros du polynôme A3.

Le théorème de M. Painlevé permet de démontrer directement que la seule équation (i) dont les intégrales n'admettent pas de points critiques mobiles est l'équation de Riccati.

En effet, pour que les intégrales n'aient pas de points (critiques algébriques) de la première catégorie, il faut que Q(^, y) soit indépendant de^. L'équation (i) doit donc être de la forme

^ = P(ir, y) (P polynôme en y).

Faisons, d'autre part, j^ = ^~*. Afin que, dans l'équation transformée

le coefficient différentiel ne soit pas infini lorsque <s=:o, il faut que le polynôme P soit de degré 2 au plus par rapport à y. L'équation (1) se réduit alors à l'équation de Riccati

(6) ^ = AoH-A,j^-f-A,j.î.

Plus particulièrement, si l'on se proposait de déterminer toutes

les équations (i) dont les intégrales sont uniformes, la question reviendrait à trouver dans quels cas l'équation de Riccati (6) a pour intégrales des fonctions uniformes.

Cette question, dont la solution complète nous échappe encore, a été l'objet de nombreux travaux qui relèvent de la théorie des équations linéaires. On sait, en effet, que le changement de variable

transforme l'équation de Riccati (6) en une équation linéaire du second ordre