III. — Intégrales à n branches

D'après le paragraphe précédent, toute équation (i) qui n'est pas une équation de Riccati a pour intégrale générale une fonction multiforme. Il y a lieu de se demander si cette fonction multiforme peut, dans certains cas, n'avoir qu'un nombre fini de branches. Plus précisément, nous allons rechercher avec M. Painlevé quelles sont les équations (i) algébriques en x dont les intégrales (exception faite peut-être pour un ensemble dénombrable d^ intégrales exceptionnelles) n'acquièrent qu'un nombre donné n de branches lorsque x se meut d'une façon quelconque sans traverser les points critiques fixes.

Considérons une intégrale Y jouissant de cette propriété et prenant en un point fixe Xq (non critique pour cette intégrale) une valeur initiale C; puis joignons X© à un point x par des chemins L quelconques ne passant pas par les points ($). Quel que soit le point x^ l'intégrale Y est supposée y prendre n déterminations y<, j^2» •••? yn' D'aiJleurs ces déterminations (pour un point X donné) varient avec C d'une manière continue; je vais montrer d'abord que toute fonction symétrique R des n déterminations y^^ . ,,^ y,i est une fonction rationnelle de C.

Partons de Xq avec la valeur C et parcourons entre Xq et x n chemins différents L|, . . . , L^, de manière à arriver en x avec

les n déterminations diflFérentes j^^i , ...,>^/i(')' Nous appellerons en particulier Yy la branche de Y suivie le long de Ly ; je dis qu'en tout point de Ly, Yy est une fonction méromorphe ou algébroïde de C pour toute valeur de C. En effet, d'après les corollaires des pages 9, lo et i5 (note), il en est bien ainsi pour les points de Ly voisins de X©. D'autre part, il n'est pas possible que Yy(C) cesse

d'être algébroïde à partir d'un point x du chemin Ly. Appelons,

en effet, C la valeur de Yy(C) en j?; C est fonction méromorphe

ou algébroïde de C; et, d'autre part, puisque x ne coïncide avec aucun des points ($), Yy est fonction méromorphe ou algébroïde

de C pour x voisin de x\ donc Yy(C) est encore algébroïde au

voisinage de x. On en conclut qu'à l'extrémité commune x des chemins Ly, les fonctions jKm • • • ? yn de C sont toutes méromorphes ou algébroïdes quel que soit C; donc la fonction symétrique R(^, Xo, C), qui est fonction uniforme de C, est méromorphe en C pour toute valeur de C; c'est nécessairement une fonction rationnelle de C.

Ce point établi, nous pourrons toujours représenter les n déterminations ^i, . . . , ^« par une relation implicite

(7) y-^ R/i-i (^> Xo, C)>^«-^^-. . .+ Ro(a?, Xq, C) = o,

les R étant des fonctions symétriques entières de ^, . . . , ^„, par suite des fonctions de x partout méromorphes (puisque uniformes) sauf peut-être aux points (Ç), et des fonctions rationnelles de C. D'ailleurs, pour des valeurs données de x^ y, Xq, la relation (7) doit définir n valeurs de C (valeurs au point X© des n branches de l'intégrale Y). Les R sont donc, par rapport à C, de degré n au plus.

Nous supposerons que Rq dépende de C. (Si cette condition

(*) Le raisonnement deviendrait inapplicable pour les valeurs de C, correspondant aux intégrales exceptionnelles défînies plus haut, pour lesquelles on ne pourrait plus obtenir les n déterminations sans faire passer les chemins L parles points critiques fixes (Ç). On doit donc se demander si ces valeurs de C ne seront pas des singularités transcendantes de la fonction R. Mais la fonction R est uniforme dans tout le plan, et Tcnsemble des valeurs exceptionnelles de C est, par hypothèse, dénombrable : ces valeurs devraient donc être pour R des points d'indélermination weierstrassicns, ce qui est manifestement impossible. Voir, à la fin du Volume, la Note de M. Painleve.

n'était pas remplie de prime abord, on Ja réaliserait en changeant y eny-i- const.) Posons, dans ces conditions,

(8) Ro(ar,Xo,G) = X,

X étant un point d'un chemin L où les déterminations de y ne sont pas nulles, point que nous commencerons par supposer Jixe , Au lieu de regarder les R comme fonctions de C, nouî^ pouvons les considérer comme fonctions de X. Je dis que Vune quelconque, Ry, de ces /onctions est un polynôme du premier degré par rapport à X.

En effet, Ry, fonction entière de^i, '-',ynj ne peut être infinie que si le produit X = Rq = ± y i ^2 • • • ^/i est lui-même infini.

D'autre part, à une valeur de X correspond une intégrale unique de l'équation (i) (partant une seule détermination de Ry) : car la relation (8), de degré n en C, ne fait correspondre à une valeur de A que n valeurs de C, qui sont les n déterminations de l'intégrale Y au point X^.

Réciproquement, à une valeur de Ry(^, Xq, C) en un point donné x il ne correspond qu'une valeur de X; car, d'après la même remarque, à une détermination de Ry correspond une intégrale unique de l'équation (i), partant une seule fonction Rq.

Ry est donc bien, par rapport à X, un polynôme du premier degré.

De cette propriété des fonctions R on conclut que la relation (7), définissant les n branches de l'intégrale Y, peut s'écrire comme il suit :

(9) ^'*+[L„i(a?,Xo)-hXM„,(a7,Xo)]7«-i-h...+ [L,H-XMi]7-f-X = o,

les L étant méromorphes en x pourvu que x soit distinct des points (5).

Nous avons supposé tout à l'heure que le point x était fixe. Donnons-lui maintenant une valeur variable en laissant Xq invariable. Alors X est une fonction de a: et de a? seulement; de même les L et les M. Dans ces conditions, la relation (9), supposée résolue par rapport à X, prend la forme suivante :

(10) 1= y"-hLn-^(x)y''-^-^,..-^L,{a;)y

M«,(a7)^''-' -+-...-+- Ml ( a? )j^ -h I '

Supposons maintenant que l'on effectue sur l'équation (i) le changement de variable (lo). L'équation deviendra

^ étant par rapport à X une fonction algébrique. Cette fonction algébrique est d'ailleurs rationnelle, puisque à un système de valeurs de a: et de X (ou Ro) correspond une seule détermination

de -j-^* Mais alors nous pouvons appliquer à l'équation (ii) le

premier théorème de M. Painlevé; étant donné que les intégrales de cette équation n'ont aucun point critique en dehors de certains points, fixes ($), l'équation (ii) est nécessairement une équation de Riccati

(12) ^ =G(a?)Xî-hH(a?)X-+-K(a?).

D'où iious concluons, en définitive, que si les intégrales de l'équation (i) n'acquièrent que n branches autour des points critiques mobiles, l'équation (i) sera ramenée par le changement de variable (10) à l'équation de Riccati (12).

Je dis qu'«7 n^ existe qu'un seul changement de variables (10) ramenant Véquation (i) à la forme (12). Supposons, en effet, qu'il existe une fonction X' de x^ différente de \ et jouissant des mêmes propriétés [c'est-à-dire ayant ses points critiques fixes et liée ày par une relation (10') ou (9') de même forme que (10) ou (9)] : en retranchant (9') de (9) on trouvera que y est liée à x par une relation, de degré n == i en j^, dont les coefficients ont leurs points critiques fixes : les intégrales y n'auront donc que (/i — i) branches, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Le changement de variable (10) n'étant possible que d'une manière, nous sommes assurés que nous pourrons toujours obtenir par des opérations rationnelles les L, les M, G, H e^ K en/onction des coefficients de (i) et de leurs dérivées.

Demandons-nous maintenant de quelle forme doit être une équation (1)

dy P(ar, v) / r» /^ •

-r- = 777 — ^ LP et Q premiers entre eux)

dx Q(^,y) ^

NOTIONS FONDAMENTALBS. 23

pour qu'un changement de variable

^ ^ Pi^^y) ^ •■--(r^-4-...-hL,r) [(^ et ^ premiers entre eux (i)]

puisse la ramener à l'équation de Riccati (12). Je dis que P et Q doivent être par rapport à y de degrés in et 2/1 — 2 au plus. Il nous sera commode de remplacer l'intégrale générale X de l'équation de Riccati (12) par son expression

expression dans laquelle a, p, a^, ^4 sont des fonctions à points critiques fixes et h la constante arbitraire. Nous aurons

__ ^xp — v.q __ p^ ?q-^iP~ gi'

Pi et Çi étant, comme p et q^ des polynômes en y, premiers entre eux et de degré '^n; et notre équation différentielle s'écrira

dh

ou

le numérateur et le dénominateur de (i3) étant respectivement (^) de degré 2/î et de degré a/i — 2 en y.

Je dis que, si le numérateur et le dénominateur de (i3) admettent un facteur commun [y — ^(^)]î la fonction y = 6(0:) est une solution de Inéquation (i). En effet ('), si nous remplaçons^ par ^{x) dans la dérivée

.P\ àpx dqx ,1 dpx àqx\

àx q\

(^) Si /? et ^ n'étaient pas premiers entre eux, les intégrales de l'équation (i) n'auraient pas n branches : elles en auraient moins. (^) Onvérifîera sans peine que les premiers coefflcients ne sont pas nuls. (3) On a toujours le droit de supposer que y = 6(a?) n'annule pas q^\ s'il en

était autrement, on changerait /t en v*

nous constatons que cette dérivée est identiquement nulle. Donc

— est constant pour y == 6 (a?), et égal à une certaine valeur h^ de

la constante A, ce qui prouve que jk = ^(^) est solution de l'équation proposée. D'ailleurs, j^ = 6(a:) est une solution multiple

de (i). En effet, la dérivée -^ est identiquement nulle pour j^=6(x); donc y = 6(^) est une racine multiple de l'égalité ^ = ho. Remarquons enfin qiiey = 0(a:) est une intégrale algébrique. Reportons-nous, en effet, à l'expression de

et faisons-y h = ho, y = ^[x). Nous vérifierons sans peine que la dérivée — est identiquement nulle. La solution y = ^(x) vérifie

donc la relation -r^ = o, relation qui (comme - j est algébrique

en X.

En résumé, nous parvenons à la conclusion suivante : Ou bien l'équation (i) admet une ou plusieurs (*) solutions particulières multiples et algébriques, ou bien le second membre de (i3) est une fraction irréductible. Dans ce dernier, pour calculer les L, les M, G, H et K en fonction des coefficients de (i), il suffit d'identifier les coefficients des numérateurs et des dénominateurs (^) des équations (t) et (i3).

Ainsi se trouve • démontré le second théorème de M. Painlevé que nous avions annoncé (p. i6). De ce théorème il résulte en particulier qu'en opérant tous les changements de variables de la forme (io|) sur les équations de Riccati à intégrales uniformes, on obtiendra toutes les équations algébriques (i) dont les intégrales sont des fonctions multiformes à n branches. Toutes les équations (i) qui ne peuvent pas être obtenues de cette manière ont

(*) Voir la Note de M. Painlevé à la fin du Volume. (^) On commencera par les dénominateurs.

pour intégrales des fonctions multiformes à une infinité de branches. Ce sera, en particulier, le cas pour l'équation

lorsque P est un polynôme en y de degré supérieur à 2.