IV. — Remarques sur les fonctions multiformes

Nous venons de dire que, si nous nous assignons comme tâche Tétude des fonctions définies par l'équation différentielle (i), nous aurons en général affaire à des fonctions qui possèdent une infinité de branches. Cette constatation nous met dans un certain embarras. Il semble, en effet, que, jusqu'ici, les analystes aient systématiquement écarté les fonctions multiformes de leurs spéculations. S'ils ont fixé leur attention sur quelques-unes, c'est qu'ils savaient les rattacher à des transcendantes uniformes simples (*) [exemple : les recherches sur les fonctions abéliennes). Mais, pour ce qui est de la théorie générale des transcendantes multiformes, elle est à tel point inexistante que nous en ignorons jusqu'à l'objet; nous n'en sommes pas, en cette matière, à chercher des solutions, mais à nous demander quelles questions nous pourrions bien nous poser.

Livrés ainsi à leur propre inspiration, les géomètres qui voudraient explorer le monde des fonctions multiformes pourraient peut-être demander quelques suggestions à la théorie des fonctions uniformes. On sait par quel artifice les analystes se sont élevés des fonctions rationnelles aux transcendantes uniformes. Ayant affaire à des équations admettant, non plus un nombre fini, mais un ensemble infini de racines, ils ont cherché, en premier lieu, à déterminer les points-limites de cet ensemble; en second

(*) M. Poincaréa démontré que, quelle que soit la fonction multiforme y de a?, on peut toujours exprimer x tl y tn fonction uniforme d'un même paramètre t. Mais nous ne sommes qu'incomplètement renseignés sur la nature des fonctions ^(^)? y{^)i dont l'existence est ainsi établie. Ces fonctions sont étudiées par M. Poincaré dans un Mémoire qui vient de paraître : Sur V uniformisation des fonctions analytiques {Acta mathematica, t. XXXI).

lieu, ils ont étudié la répartition, la condensation des racines autour de leurs limites; d'autre part, ils ont examiné l'allure, le mode de croissance des fonctions uniformes au voisinage des points-limites de leurs zéros. On peut poser, relativement aux fonctions pourvues d'une infinité de branches, une série de questions analogues. Gomme l'ensemble des zéros d'une fonction uniforme, on étudiera l'ensemble des points critiques d'une fonction multiforme et l'ensemble des déterminations de cette fonction pour une valeur quelconque de la variable. On recherchera, d'autre part, comment ces deux ensembles se correspondent l'un à l'autre, c'est-à-dire comment se combinent les permutations opérées autour des points critiques, de manière à donner naissance à l'ensemble des déterminations. On étudiera enfin la croissance des diverses branches de la fonction.

Toutes ces questions, nous les rencontrerons au cours de ces Leçons. Mais je veux faire, dès maintenant, quelques remarques générales sur les points-limites (' ) des déterminations d'une fonction multiforme y{^)'

Considérons un ensemble y^ (^), J^2(^)y ... de branches de y(x)y

holomorphes au voisinage d'un point x et convergeant, pouTX = Xj

vers un point Yj du plan des y. Supposons, de plus ('-*), que les modules de ces branches soient bornés également au voisinage du

point a?, c'est-à-dire restent inférieurs à un même nombre fixe quelque grand que soit l'indice i. Dans ces conditions, je vais démontrer la proposition suivante :

Pourvu que x ne soit pas point-limite de points singuliers ( ' )

(*) Oo trouvera une étude délaiilée des fonctions engendrées par ces points dans la Thèse de M. P. Monte) {Sur les suites infinies de fonctions) publiée depuis l'achèvement de ces Leçons. Les foncLions-iinnites de variables réelles avaient été depuis longtemps étudiées par M. Arzelà, ainsi que le rappelle M. Montel.

(*) J'ai montré {ftendic. del Circolo mat. di Palermo, 1907) que cette supposition est impliquée dans l'hypothèse d'après laquelle x n'est pas limite de points singuliers ou d'intersections des y^.

(3) Tout point singulier transcendant doit être regardé comme point-limite de points singuliers algébriques. Mais la réciproque n'esi pas vraie. En eiTet, nous considérons comme point-limite de points critiques tout point au voisinage duquel une infmité de branches y^ se permutent avec une infinité d'autres branches; cette définition ne suppose pas qu'une infinité de branches se permutent entre elles au voisinage du point considéré.

des branches yi{x) ou point-limite de leurs intersections, la

limite Y| de ces branches est, au voisinage de x^ une fonction holomorphe de x. Les dérivées successives de Y| par rapport à X sont les limites des dérivées successives des branches yi{x).

Nous appellerons la limite Y| branche-limite ou fonctionlimite des yi{x).

Soient yj , jKa? • • • les valeurs de y^ , y 2-, • . . pour x =z x] décrivons autour de x un cercle c tel que, pour i supérieur à un nombre m, les yi{x) ne présentent aucun point critique et aucun point d'intersection à l'intérieur de c. Considérons ensuite une

courbe fermée y entourant le point x et intérieure à c. Je dis qu'il existe sur cette courbe des arcs où la différence ^,i+i — yn est

arbitrairement petite (avec - )• En effet, par hypothèse, cette différence au point x sera inférieure à tel nombre e que l'on voudra dès que n dépassera un certain nombre n^. Supposons alors que l'on ait en tout point du contour y, pour des valeurs indéfiniment croissantes de /i,

(i5) lr»-Hi— r«l>2^-

Puisque la différence jKw+i — yn devient inférieure à e dans y (pour n > /ij), l'inégalité (i5) exige que cette différence s'annule à l'intérieur de c; or, elle ne peut s'annuler, car elle ne saurait le faire qu'en un point critique ou double desyfi(x) : doncyn^t — yn tend bien vers zéro sur un arc au moins du contour y.

Je vais conclure de là qu'aa point x les différences des dérivées successives y[^^^ — j^^, y"^^^ — y",^, ... tendent toutes vers zéro

avec -• n

Posons jK/i+i — yn=^/n(x) et montrons que l'on aboutit à une

contradiction si l'on suppose que \/n{^) I reste, pour des valeurs de n indéfiniment croissantes, supérieur à un nombre fixe a indépendant de n. Nous savons que fn{x) est holomorphe et bornée dans le cercle c, en sorte que le développement

(i6) /«(^-4-Tn)=/,i(ï)-f-/;,(ï)7i-h...

est absolument convergent, quel que soit /i, tant que | y\ \ reste

inférieur au rayon p de c. Désignons par A^ la plus grande valeur

prise par le module •^^ ) lorsque n augmente indéfiniment.

Nous sommes certains que la série SA^tj/* converge absolument

dans tout cercle de centre x intérieur à c : car, s'il en était autrement, les/rt(^) tendraient (pour n croissant indéfiniment) vers une fonction qui présenterait un infini ou un point singulier à l'intérieur de c. Déterminons alors un nombre ^ (inférieur au rayon de c et indépendant de /i), tel que l'on ait, pour n assez grand et pour I Ti I < (3,

puis prenons pour courbe v un cercle de centre x et de rayon 3' moindre que p. Comme fn\^) tend vers zéro avec — » on voit que

lie

si 1/^^) I restait supérieur à a, fn\^ ~^'^) serait, sur le contour de y, supérieur à — ? et ne pourrait, par suite, tendre vers zéro en aucun point de ce contour : ce qui est contraire au résultat obtenu tout à l'heure. Nous sommes donc assurés que 1/^,(^)1 ^^^ inférieur à a à partir d'une certaine valeur de n et décroît indéfiniment avec —'De proche en proche, on démontrerait qu'il en est

de même des dérivées successives y;;(:r), /,7(^)>

Ainsi, dans le développement (i6) tous les coefficients tendent

vers zéro avec — • Il en résulte que fn ou ynjf\ — yn tend vers zéro

en tout point où ce développement converge, c'est-à-dire en tout point intérieur à c. Il en est de même des dérivées j^^^^ — y^^

Cela dit, appelons Y^, Y'^, Y'|, ... l'ensemble des valeurs-limites des yi{x)^ y'i(^)i .X/(^)' • • • ^^^ ^^^ point quelconque du cercle c. Il résulte de ce qui précède : i° que l'ensemble Yi, se réduisant à un point pour x = x^ se réduit encore à un point pour toute valeur de x intérieure à c; de même les ensembles Y'^, Y^, ...; 2^ que les difierences Yi — ^,|, Y'^ — y'^^ Y\ — y"^, ... tendent vers

zéro avec — • En particulier, si l'on appelle $ et J^, 7|„ et 0,i, ïl^

et K| les parties réelles et les coefficients de y/ — i dans x^ yn et Y^ , on aura

On en conclut que Y| est, comme ^,i, une fonction analytique

holomorphe au voisinage de .r = j7; il en est de même de Y^, Y'J, . . . et ces fonctions sont, de plus, les dérivées successives de la fonclion Y^ : ce qu'il fallait démontrer.

Nous avons défini la branche-limite Y ^ au voisinage du point x.

Que deviendrait-elle si, nous éloignant de x^ nous faisions varier :r d'une façon arbitraire?

Il est clair que, si x vient à coïncider avec un point-limite de points singuliers de branches yi{x)^ la branche-limite Y^ (x) pourra présenter en ce point une singularité (*). Or, dans le cas le plus général, les points singuliers de yi{x) auront une infinité de points-limites : dès lors, quand x variera d'une manière quelconque, Y| pourra engendrer une fonction multiforme Y(a:), aussi compliquée que la fonction y{x) d'où nous sommes partis. Parfois, au contraire, la fonction-limite Y(j7) sera plus simple que y(x)^ et c'est en ce cas qu'elle nous intéressera.

De l'existence même de la fonction-limite Y (x) on déduira la proposition suivante ;

Si une fonction niulti/orme y satisfait à une équation différent ie/ le

où f est analytique en x et y, la fonction- limite Y satisfait à la même équation.

En effet, pour toute branche Y| de Y, limite d'un ensemble de branches j^i, . . ., j^/i de y^ on a les égalités

S =nL"îo^' lim/(^,YO= hmy(^,^„).

(^) La démonstration donnée ci-dessus cesse d'être valable lorsque x est pointlimite de points singuliers ou dMnlersections des yi{x). Mais on peut montrer que, sous certaines conditions, les points- limites d'intersections des y^ ne sont pas points singuliers pour Y^{x) {voir le Mémoire cité plus haut p. 26, note 2).

3o CHAPITRE I.

Nous connaîtrons ainsi une condition nécessaire pour qu'en un point donné les déterminations d'une intégrale y{^x^ de Téquation (17) admettent une valeur-limite unique ou un nombre fini de valeurs-limites : il faudra que V équation (17) ait une intégrale uniforme ou une intégrale ne possédant qu ^ un nombre fini de branches (* ). En particulier, pour que les déterminations à^yi^x) n'aient d'autre valeur-limite que l'infini (comme il arrive pour les déterminations de la fonction inverse d'une fonction entière), il faut que l'équation différentielle

admette l'intégrale particulière ^ = o.

A ces observations générales j'ajouterai une remarque d'un autre ordre.

On sait comment les analystes ont pu rendre uniformes les fonctions algébriques en les représentant sur des surfaces de Biemann composées de feuillets superposés. Il ne sera pas difficile d'appliquer aux fonctions pourvues d'une infinité de branches le même mode de représentation.

Appelons, en effet, ^<, ^^2? ... les diverses déterminations d'une

fonction multiforme en un point x. On peut, d'une infinité de manières (en joignant entre eux ou à l'infiiii les points critiques de^), tracer dans le plan des x un système de coupures tel que la fonction y ne prenne en chaque point qu'une valeur, lorsque x se meut sans franchir les coupures. Les coupures d^^ d^^ ... seront par exemple des fentes, découpées dans un feuillet plan S ^ et

infranchissables pour la variable x : au point x du feuillet Si,

y prendra la valeur unique y^ .

Si nous voulons maintenant permuter y^ avec j^o? nous devrons faire varier x le long d'un (2) lacet fermé L, entourant certains points critiques x^, x^-, .... Aplatissons ce Jacet de manière

(^) Nous établirons directement l'existence d'une telle intégrale dans les exemples étudiés au Chapitre IV.

Cj II peut arriver que les déterminations y^ et ^3 s^échangent entre elles le long de plusieurs lacets L, L', L", ... entourant des groupes différents de points

NOTIONS FONDAMENTALES. 3l

à rendre infiniment petite l'aire comprise à l'intérieur de sa boucle (sans en faire sortir toutefois les points x^^ x^^ ...). Le lacet L

tendra vers une ligne sans épaisseur, /, issue de x et parcourue deux fois. Soit x^ le premier point critique rencontré sur cette ligne, x\ le dernier. Je prendrai pour coupure <i< le segment de / compris entre Xk et x\ ; puis, à partir de x\ je prolongerai / jusqu'à l'infini (ce prolongement ne passant par aucun point critique) et j'appellerai c^ le segment x'^ço. Si, à partir de x^ on dé-

Fig. I.

crit un lacet \J qui coupe une fois la ligne Ck et ne rencontre

aucune coupure,, ce lacet permutera les déterminations j>^< et j^2» Cela dit, considérons un feuillet plan S 2 superposé à S^. Dans ce feuillet découpons des fentes suivant les coupures rf<, ^2? •••! puis relions S 2 à S ^ par une ligne de croisement ( * ) placée suivant Cl. La fonction y sera uniforme sur l'ensemble des deux

feuillets J^^, £2» A.u point x du feuillet J^2j elle prendra la va-

leur y2'

En continuant de la sorte, on obtiendra une surface de Riemann

formée d'une série de feuillets -/<, S 21 -^3? • • • sur lesquels y{x)

prendra les valeurs j^^, y 21 .V^^

critiques. On pourra raisonner sur ces divers lacets comme nous raisonnons sur L, et faire correspondre à chacun d'eux une ligne c suivant laquelle on mènera une ligne de croisement reliant les feuillets S^ et s^. Ces deux feuillets seront alors joints par plusieurs lignes de croisement au lieu d'une seule.

(^) On sait ce qu'il faut entendre par là. Considérons deux fentes superposées c[^ c'[ découpées respectivement dans les feuillets Si et ^, suivant la ligne C|. Pour joindre Si et S^, on relie par une première nappe le bord droit de la fente c[ au bord gauche de la fente c'J, et par une seconde nappe le bord gauche de la fente & au bord droit de la fente c'|.

Or, MM. Poincaré et Volterra ont démontré ( * ) que l'ensemble

des déterminations j^i, jKa, . . . que peut prendre en un point x une fonction multiforme est un ensemble dénombrable. Il en résulte qu'en définissant la suite des branches j^^ , jKa? • • • sur la série correspondante des feuillets S \^ J^a, ... on épuise toutes les déterminations de la fonction.

Ainsi, il est toujours possible de construire des surfaces de Biemann sur lesquelles une fonction multiforme donnée peut être regardée comme uniforme. Il existe même une infinité de telles surfaces. Mais, notons-le, la définition que nous en obtenons est purement théorique. Nous ne pouvons prévoir comment seront agencés, dans chaque cas particulier, les feuillets de la surface et les lignes de croisement qui les rattachent. Ce sera précisément l'un des problèmes que nous nous poserons, lorsque nous serons en présence d'un type nouveau de fonctions multiformes, que de chercher à les représenter sur une surface de Riemann aussi simple que possible et appropriée à leur nature {comparer Chap. III).