L'INVARIANT INTÉGRAL A DEUX DIMENSIONS DE LA DYNAMIQUE

I. — Formation de l'invariant intégral à deux dimensions de la Dynamique.

16- Nous avons vu que l'action élémentaire d'Hamilton pouvait s'obtenir en supposant que dans l'expression

= ^Pi^i — Hs<,

ocii = q^'ot.

Il est remarquable que les trajectoires (Tan système matériel réalisent encore l'extremum de l'intégrale

w = I y.pdqi - ndt.

-Xs-*

en supposant simplement que les q, et les q' sont des fonctions quelconques de t assujetties aux seules conditions que les qi prennent des valeurs données à l'avance aux limites. On ne suppose donc plus, comme dans le principe d'Hamilton, que les g/ soient les dérivées des qi par rapport au temps. On peut même plus généralement supposer que les qi, g,' et t sont des fonctions d'un même paramètre a variant de o à i, les quantités Çj et t prenant aux limites des valeurs données.

Un calcul facile, donne

ew = [Spioqi — HSi] "^' + r~' (y{Bp4qi — oqidpi) — mdt + S<t/H) .

La partie tout intégrée est nulle par hypothèse; les équations des extrémales

E. CAaTA!*. — Leçons sur les Icvariaots intégraux. a

I8 LEÇONS SLR LES INVARIANTS INTEGRAUX

s'obtiendront en annulant, dans la quantité sous le signe somme, les coefficients de

CQi, 872. ..., 5/)„, ol;

or ce calcul a été fait au n° 11 et nous a donné justement les équations du mouvement sous leur forme canonique.