L'expression

^{dpioqi — dqiSpi) — dRot -h di8H,

que nous avons rencontrée deux fois, est linéaire par rapport à deux séries de différentielles ; on peut l'écrire sous la forme plus simple

en admettant que les deux symboles de différentiation soient échangeables entre eux. Cette expression, que nous désignerons par a)'(d, S), jouit de la propriété qu'elle est nulle toutes les fois que le symbole d définit dans l'espace des états un déplacement élémentaire dans la direction d'une trajectoire, le symbole ô définissant un déplacement élémentaire arbitraire. C'est du reste en exprimant cette propriété que nous avons obtenu les relations entre dqi, dq2, ..., <//)„, dt qui définissent les équations différentielles des trajectoires ou, à un autre point de vue, les équations différentielles qui admettent

l'invariant intégral 1 tog.

Considérons maintenant, plus généralement, deux déplacements élémentaires quelconques définis par deux symboles de différentiation 0 et S' et proposons-nous de chercher la signification de la forme bilinéaire u)'(8, 0'). Imaginons pour cela un ensemble continu à deux dimensions d'états; on réalisera un tel ensemble en prenant pour les qi, pi et t des fonctions de deux paramètres a et ^ ; chaque état de l'ensemble pourra être représenté dans un plan par le point de coordonnées (a, 13) et l'ensemble sera représenté par une aire du plan. Les symboles 0 et o' se rapporteront respectivement à des accroissements de a seul et de ^ seul. Considérons alors, dans l'espace des états, quatre états A, B, C, D correspondant respectivement aux valeurs

or -J- oa,

des paramètres, et formons l'intégrale 1 w étendue au contour fermé ABDC. On a manifestement

I = wj, i = tojf, I =0)5 + 3'u)j, I =0)3* + 8u)3«

c/^B JjlC JvD JbD

L INVARIANT INTEGRAL A DEUX DIMKNSIOIfS DE LA DYNAMIQUE ' I9

et par suite

J— Sojj/ — ô'wg = a)'(o, 3').

ABDC

18. La forme bilinéaire w'(o, 0'), qui intéresse en somme un état arbitraire et deux états infiniment voisins, représentant, d'après ce qui précède, la valeur de l'intégrale I w étendue à un contour fermé, est invariante pour le

système d'équations différentielles des trajectoires, en ce sens qu'elle ne change pas de valeur si on déplace chacun des états le long de la trajectoire correspondante. Cette forme est aussi un élément d'intégrale double : du reste si l'on regarde par exemple pi et q^ comme les coordonnées (dépendant de deux paramètres a et P) d'un point d'un plan, l'expression ^pio'qi — Sg,S'pi est l'élément d'aire de ce plan rapporté aux coordonnées curvilignes a et ^ ; c'est ce que l'on écrit d'habitude

dpidqi ou opioqi.

Cela nous conduit à la notion d'un nouvel invariant intégral

cette intégrale double, étendue à une aire à deux dimensions dans l'espace des états, se reproduit si on déplace chacun des états de cette aire le long de la trajectoire correspondante. Cette intégrale double s'obtiendrait d'ailleurs, par la formule de Stokes généralisée, comme expression de l'intégrale curviligne

J^=J[^p,5q,-mt)

étendue au contour fermé qui limite l'aire.

Dans la conception de H. Poincaré, on ne considère que des aires formées d'états simultanés. On peut alors énoncer le résultat obtenu sous la forme suivante :

Etant donné un ensemble à deux dimensions de trajectoires, si l'on prend sur chaque trajectoire de l'ensemble l'état correspondant à un instant donné t, l'intégrale double

ff

étendue à ces états est indépendante de t.

Comme on le voit, ce théorème n'exprime qu'un aspect particulier de la propriété démontrée plus haut.

L'invariant intégral à deux dimensions j / «>' est dit par H. Poincaré

absolu, par opposition à l'invariant | ta, qui est dit relatif; cela signifie que l'intégrale double I 1 to' possède un caractère invariant quel que soit le domaine d'intégration, ouvert ou fermé, tandis que l'intégrale | a> ne possède un caractère invariant que si elle est étendue à un contour /crmé.

L'intégrale i I to' n'étant pas autre chose que l'intégrale I lo étendue à un contour fermé, on peut affirmer que les équations différentielles du mouvevement sont les seules qui admettent l'invariant intégral I I lo'. L'invariance de

l'intégrale 1 I w' n'est donc qu'une traduction analytique nouvelle du principe généralisé de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie.

n. — Applications à la théorie des tourbillons.

20- Nous avons jusqu'à présent considéré des ensembles de trajectoires, mais ces ensembles n'étaient réalisés que dans notre imagination. Il y a un cas où de tels ensembles ont une existence concrète. C'est celui d'un fluide parfait soumis à des forces dérivant d'une fonction des forces U. On démontre en effet en Hydrodynamique les équations suivantes

^ ôU 1^ ôp

^''^' dX p dx'

. , , ôU I dp

ôU I dp

^' dz p dz'

dans lesquelles Yi, Yy, Yz désignent les composantes de l'accélération de la molécule qui occupe à l'instant t la position (x, y, z), p et p désignant respectivement la pression et la densité eh ce point.

Ajoutons l'hypothèse qu'il y a entre p et p une relation donnée à l'avance, ce qui arrive sûrement si le mouvement est isotherme.

Si nous portons notre attention sur un mouvement déterminé du fluide, nous pouvons regarder p comme une fonction déterminée de x, y, z, t, et en posant

nous voyons que chaque molécule se comporte comme un point matériel de