LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION D HAMILTOM I I
Le principe d'Hamilton nous conduit alors aux équations suivantes du mouvement, qui ne sont autres que les équations de Lagrange,
, . d /ôT\ ôT ôU ,. .
fil) -n — ,) -=o (i == 1, 2, .,., n).
La comparaison des deux valeurs (8) et (lo) trouvées pour SW conduit ensuite à l'expression suivante du tenseur w^
en posant
(i3) H = yfl/-^-I,T — U.
ôT Les quantités —, sont les quantités de mouvement généralisées (rapportées
au système de coordonnées choisi) ; la quantité H est l'énergie généralisée.
10. Une remarque simple permet dans la pratique de simplifier le calcul de l'énergie généralisée H. L'énergie cinétique T pourra contenir en générai des termes du second degré, des termes du premier degré et des termes de degré zéro en q/, q^', ..., 7/, soit
T = T, 4- Ti -f- To ;
l'application de la formule d'Euler relative aux fonctions homogènes donne alors immédiatement
II = T, - To — U ;
dans l'énergie généralisée, le terme Tj peut être regardé comme d'origine cinétique, le terme — Tg — U étant d'origine dynamique.
Prenons par exemple le cas d'un point malériel libre rapporté à des axes tournant autour de 0^ avec la vitesse angulaire r. On a
2T = m[{x' — ryY + [y' 4- rxf + z'^]
et par suite l'énergie, rappariée au système de référence choisi, est
H =r i m{x'^ 4- j'2 -+. 2'2) — 1 mr\x^ + jS^ U ;
la partie d'origine dynamique de l'énergie se décompose en deux termes dont l'un provient des forces données et l'autre des forces centrifuges. Quant aux composantes de la quantité de mouvement, elles sont
m(x' — ry), m(y' -\- rx), mz',
c'est-à-dire les projections sur les axes de coordonnées choisis de la quantité de mouvement absolue.
11. Variables canoniques d'Hamilton. — Les équations du mouvement, considérées comme des équations différentielles du premier ordre en
7i. qî, t, prennent une forme extrêmement simple si l'on introduit Icjs variables
les nouvelles variables, qu'on substitue aux q/, sont tout simplement le» composantes de la quantité de mouvement du système. Le tenseur 105 prend alors la forme simple
(i5) o)3=Vpiô,^,. — HS^ .
où H doit être regardée comme une fonction des qi, des pi et de t.
Nous allons chercher directement les équations du mouvement en exprimant qu'elles admelleni comme invariant intégral Vintégrale I 103 étendue à une
courbe fermée quelconque d'états du système. Soit
[10) Qy- Q, Pn~T
un système quelconque d'équations différentielles. Pour exprimer qu'il admet l'invariant intégral / wg, nous n'avons qu'à répéter mot pour mot le raisonnement du n° 5. Nous considérons "un tube de courbes intégrales du système (16) ; nous exprimons les 2n H- i coordonnées pi, g,, t d'un état du tube en fonction de deux paramètres a et u, le premier restant constant sur une courbe intégrale et variant dans un intervalle (o-l) de manière que la courbe intégrale relative à or = / co'incide avec la courbe intégrale relative à a = o. En désignant par d un symbole de différentiation se rapporlant à la variable u et posant
on a, par une intégration par parties immédiate,
dl= f y (d/Y^îi - dqfipi) - dE^t H- dtm.
Pour que le système (16) admette l'invariant intégral / 103, il faut et il suffit que les coefficients de
dans la quantité sous le signe / s'annulent tous en tenant compte des équations du système. Or en annulant ces coefficients on obtient les an -h 1 équations
dp,
-dq, — dll
i>Pi 0/
LE PRINCIPE DE L.\ JOINDRE ACTION d'hAMILTOX i5
Cela montre qn'il y a un seul système d'équalions différentielles admettant n r invariant inléyral | wg, et cela nous donne en mémo temps les équalions du
mouvement sous la forme canonique d'Hamilton :
La dernière équation
[ diji dll
\ dl ~ dpi' ) dpi ^ ôH { dt ôg."
dll-'^dt^o dt
est la traduction analytique du théorème des forces vives : elle est une conséquence des 2/1 premières équations.
12. Nous arrivons donc, dans le cas général des systèmes matériels de la Mécanique analytique, au principe généralisé de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie :
Si l'on admet que tout mouvement d'un système soumis à des forces données est une succession continue d'états satisfaisant à un système d'équations différentielles du premier ordre, ces équations différentielles sont caractérisées par la propriété d'admettre, comme invariant intégral, l'intégrale du tenseur « quantité de mouvement-énergie » étendue à un contour fermé quelconque d' étals,
Lejtenseur « quantité de mouvement-énergie » se met sous l'une quelconque des formes
(.. = y ^, 07, - mt (H = Vr,/ ^, T - U),
Si l'on se déplace dans l'espace des états de manière à satisfaire aux relations
ôry, = q(Zl,
loxpression to^ se réduit à l'action élémentaire d'Hamilton (ï h- U)o/; si au contraire on ne considère qu'une suite d'états simultanés (oi = o), on oljlienl l'expression
qui coîislltue l'élément sous le signe I dans Tinvarianl intégral proprement (lit de II. Poincaré.
ï 4 LEÇONS SUR LES 1>'VARIANTS INTÉGRAUX
13. Le principe de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie permet de former les équations du mouvement, quelle que soit la manière dont on a choisi les paramètres Çi, ..., q„, t servant à localiser le système dans l'espace et dans le temps. Autrement dit il donne aux lois de la Mécanique, comme le fait du reste implicitement le principe d'Hamilton, une forme indépendante de tout mode particulier de repérage de V espace-temps. Celte propriété devient analytiquement évidente si, au lieu d'introduire les dérivées qx, .,., qn des paramètres spatiaux par rapport au paramètre temporel, on introduit n -+- i quantités
'^, qi qn, t
dont les rapports mutuels sont définis par les égalités
q\' qî '" q'n i
En posant
F = t(T -4- U), où le second membre, homogène et du premier degré en qi, ..., qn> '«est exprimé au moyen des g,, t, (ji, t, le tenseur « quantité de mouvementénergie » prend la forme
ôF ^ ôF . , ôF ,^
Le mouvement d'un point soumis aux forces de gravitation obéit, dans la théorie de la relativité généralisée, au principe précédent : la fonction F est alors de la forme
aumic
avec quatre variables q^ servant à localiser le point dans l'espace et dans le temps.
III. — Transformation des équations canoniques. Théorème de Jacobi.
14. Une application importante des considérations précédentes est relative à la transformation des équations canoniques et à la méthode d'intégration des équations de la Dynamique due à Jacobi,
L'intégrale i wg étendue à un contour fermé ne change évidemment pas si on ajoute à wg une différentielle exacte ; réciproquement si une autre forme différentielle linéaire rng jouit de la propriété de donner la même intégrale que wg quand on l'étend à un contour ferme quelconque, wg ne diflère de o>> que paï une différentielle exacte.
LE PRINCIPE DE LA. MOINDRE ACTION D HAMILTOÎf 1 0
Supposons alors qu'on puisse trouver an variables nouvelles n, S; et une fonction K telles que les deux expressions
TiTg = 7 r,Ss,- — Ko/,
ne diffèrent que par une différentielle exacte. Les équations différentielles du mouvement pourront être caractérisées par la propriété d'admettre l'invariant
intégral / wg et par suite elles s'écriront
dsi ôK dij dK.
dt ôr^ ' dt ôSj '
la forme canonique des équations sera conservée. L'hypothèse faite se traduit par une identité de la forme
(19) y,pMi -^n^si - (Il - K)fi< = ôV.
Et il est facile de réaliser une telle identité. Partons en effet d'une fonction arbitraire V des an -{- i arguments q^ s,, t et posons
(20) pi= — , ri = , K = — --+-H;
^ -^ '^ dqt ôs, dt
si ces équations définissent un changement de variables, c'est-à-dire si les n premières sont résolubles par rapport à Sj, «2. •••> *«> Ï6s n suivantes donneront Tj , . . . , r„ ; la dernière donnera la fonction R et les nouvelles variables obtenues conserveront la forme canonique des équations de la Dynamique. Il importe de remarquer que si les équations (20) sont résolubles par rapport aux r, et aux Si, elles sont inversement résolubles par rapport aux pi et aux qt ; dans les deux cas en effet la condition de possibilité est que le déterminant
1 àq.dSj ne soit pas identiquement nul.
La solution obtenue ainsi de l'identité (19) n'est pas la solution la plus générale ; elle laisse échapper en effet les cas où les an -h i quantités </,, Si, t seraient liées par une ou plusieurs relations ; ces cas singuliers sont du reste faciles à traiter directement en se donnant a priori les relations qui existent entre (/,, St, et t.
15. La théorie générale précédente devient particulièrement intéressante pour les applications dans deux cas.
Le premier est celui où la fonction K est identiquement nulle ; les équations canoniques deviennent
ds; dr;
-dt=''^ dr = °'
les équations des trajectoires se réduisent à
Si = a:, ri = 6.,
l6 LEÇONS SUR LES LN VARIANTS INTÉGRAUX
OÙ fli et bi sont an constantes arbitraires. Pour qu'il en soit ainsi il suffit de trouver, d'après les équations (20), une fonction \(t; q^, ,.,, g„ ; Oj, ..., a^) satisfaisant à l'cqualion aux dérivées partielles
si celte fonction V, où entrent n constantes arbitraires a^, ...,a„, est telle que le déterminant
da
ne soit pas identiquement nul, les équations du mouvement sont
c'est le théorème de Jacobi. La condition relative au déterminant revient à dire que la fonction V est une intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre (21) de Jacobi.
La seconde application à signaler se rapporte à la théorie des perturbations. Supposons que la fonction H soit la somme de deux termes Hi et H^ dont le second soit très petit par rapport au premier : cela revient à partager les forces données en deux groupes dont l'un, très peu important par rapport à l'autre, sera formé de ce qu'on appelle les forces perturbatrices. La méthode employée en Mécanique céleste dans ce cas consiste à chercher une intégrale complète V de l'équation de Jacobi
où on ne fait intervenir que le terme principal de la fonction H. Les an nouvelles variables r„ Si qui s'introduisent ainsi seraient constantes si les forces perturbatrices n existaient pas ; ce sont donc les paramèli'es des trajectoires non troublées. L'introduction de ces nouvelles variables conserve la j orme canonique des équations avec la nouvelle fonction K = H2, c est-à-dire la partie de H relative aux seules forces perturbatrices.
Nous n'insisterons pas davantage, au moins pour le moment, sur la théorie des équations canoniques et les théorèmes de Jacobi. En particulier la relation qui existe entre l'intégration des équations de la Dynamique et l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ne contenant pas explicitement la fonction inconnue s'éclairera d'un jour nouveau quand nous aurons montré qu'à toute équation aux dérivées partielles de celte espèce — ou plus généralement à toute équation aux dérivées partielles du premier ordre admettant une transformation infinitésimale connue — on peut associer un invariant intégral linéaire.
