L INVARIANT INTEGRAL A DEUX DIMENSIONS DE LA DYNAMIQUE

masse i qui serait placé dans un champ de forces dérivant de la fonction des forces U — q.

Nous avons donc ainsi une réalisation concrète d'une infinité de trajectoires d'un point mobile soumis à des forces données. Remarquons que la partie — 9 de la fonction des forces représente l'action exercée par les molécules environnantes sur la molécule considérée.

21. La trajectoire de chaque molécule peut être regardée comme une solution particulière du système d'équations différentielles

du ^ a(U — g); dt dx

dw d(U — q) .

Tt ~ àz '

si donc on considère dans le fluide une suite fermée de molécules (prises chacune à un instant quelconque), l'intégrale

dt ~

dr Tt —

dt —

voy

— Eût

étendue à cette suite fermée ne change pas de valeur si Von déplace chaque molécule le long de sa trajectoire. Dans cette expression on a posé

(5) E = ^ (u2 -hv^-h w') — U -t- g ;

E est l'énergie (par unité de masse) du fluide ; cette énergie est la somme de

l'énergie cinétique- (u* -f- u^ + w'^), de l'énergie potentielle — U et de

l'énergie hydrodynamique interne q.

Si en particulier on considère une suite fermée de molécules, considérées toutes au même instant t, c'est-à-dire une ligne fluide fermée, l'intégrale

v5y -+- luoz conserve la même valeur si on prend la même ligne fluide

[c'est-à-dire la ligne fluide formée des mêmes molécules) à des instants différents du mouvement. C'est le théorème classique de la conservation de la circulation ;

on donne en effet le nom de circulation à l'intégrale | u3x + v8y + wBz.

22. Plaçons-nous maintenant à un point de vue un peu différent. Considérons toujours un mouvement particulier de la masse fluide ; dans ce mouvement les composantes u, v, w de la vitesse sont des fonctions déterminées

de X, y, z, t et les trajectoires des différente» molécules peuvent être regardées comme des solutions du système d'équations différentielles

dans les seconds membres desquelles u, v, tv sont supposés remplacés par leurs valeurs en fonction de x, y, z, t. L'intégrale

-dt =

di-

cTt —

uScc H- vày 4- w8z — ESij

est évidemment encore un invariant intégral relatif pour ces nouvelles équations différentielles. En la transformant en une intégrale double, nous obtiendrons un invariant intégral absolu pour le système (6). En formant l'expression ocog, — ô'wg, nous obtenons

w'(o, o') = SuS'cc — Saîo'u -\- ôuS'y — 8jS'u -+- Swô'z — hB'w — ôES'f + S^ô'E. Le second membre est linéaire par rapport aux 6 combinaisons

ojS'r — SzS'j,

èz^'x — Bxè'z,

SrcS'j — oyo'x

tx^'t — tt5'x.

SjS'f — S/Ô'j,

Sz8'< — fî/6'z.

Un calcul simple, qui n'est autre que l'application de la formule de Stokes, donne, pour les coefficients des trois premiers termes,

V bW

ÔU

^ ÔU ÔU

^=ii

ôz'

dx '

^~ dx dy

ce sont les composantes du vecteur tourbillon. Pour calculer les trois autres coefficients, nous pouvons utiliser la remarque que, l'expression w' étant invariante pour les équations (6), les équations obtenues en annulant les coefficients de Sx, ôj, 8z, ot dans o)(d, S) doivent être des conséquences deséquations (6). Posons donc

a)'(d, 8) = i{dyBz — dzcy) -+■ r,{dz^x — dx8z) + ^(rfxSj — dy^x) -+- P{dxot — dtBx) -h Q{dyol — dtly) + R(dzof — dlàz).

Les équations considérées sont

iridz^^dy —Vdt = o, Idx — ^dz —Qdtz=o, ^dy —ridx — Rdt=o, P.dxH-Qdv-4-Rd2=o.

l'invariant intégral a deux dimensions de la dynamique 23

En exprimant qu'elles sont une conséquence des équations (6), nous obtenons

P z=: r^w — Çv, Q = Cu — ^w, R = iv — T,u.

Par suite l'invariant intégral double cherché est

I I $8jGZ + T,C