Les équations (7), qui peuvent encore s'écrire
ÏT^(dz __ wdt) — !:(dy — vdt) — o, l^idx — udt) — \{dz — wdt) — o, ^(rfj — vdi) — r^idx — udt) = O,
sont une conséquence des équations différentielles (6), mais elles ne sont pas équivalentes a ces équations différentielles ; autrement dit les équations (6) des
trajectoires ne sont pas les seules à admettre l'invariant intégral j co. Il en est de
même en particulier des équations
, . dx dv dz dt
dont les équations (7) sont manifestement une conséquence. Les solutions de
24 LEÇONS SUR LES INVARIAÎSTS INTÉGRAUX
ces équations sont ce qu'on appelle les lignes de toarbillon. La propriété des équations dijjérentielles des trajectoires et des équations différentielles des lignes de tourbillon d'admettre le même invariant intégral va nous conduire aux théorèmes Jondamentaux de la théorie des tourbillons.
On peut en effet caractériser un déplacement élémentaire {dx, dy, dz, o) (dans r Univers à quatre dimensions x, y, z, t) dans la direction d'une ligne de tourbillon par la propriété que la forme bilinéaire w'((i, 6) est nulle, quel que soit le déplacement 8 : cela résulte immédiatement des équations (7). Cela posé, considérons à un instant donné t une ligne de tourbillon (r) ; les molécules qui la composent forment à un autre mslant t' une ligne (r') : nous allons montrer que (r') est une ligne de tourbillon pour Vinstant t'. En effet soit {dx', dy', dz', 0) un déplacement élémentaire le long de (r') et associons-lui un déplacement arbitraire {8x', 8y', 02', ot'). Déplaçons les trois états
(x',y',z',t'), {x'-\-dx',y'~hdy',z'-j-dz', t'), {x'-hox',y'-{-oy',z'-\-oz',t'-\-^t')
le long de leurs trajectoires respectives, les deux premiers jusqu'à l'instant /, le dernier jusqu'à l'instant t -{- 8t; nous obtenons un élément à deux dimensions pour lequel (dx, dy, dz, 0) représente un déplacement le long de la ligne de tourbillon (r) ; la forme w'((i, 8) a donc une valeur nulle ; donc elle est nulle aussi pour l'élément primitif et par suite (I ') est une ligne de tourbillon : c'est le théorème célèbre de Helmholtz.
25. Considérons un tube de tourbillon à l'instant t et deux courbes fermées (C) et (Cj) faisant le tour du tube ; la circulation le long de ces deux
courbes fermées est la même, puisque 1 w est un invariant intégral pour les
équations différentielles (9) des ligues de tourbillon. A un autre instant f, le tube de tourbillon aura pris une autre position dans l'espace, mais la circulation le long de toute ligne fermée faisant le tour du nouveau tube n'aura
pas changé non plus, puisque I œ est un invariant intégral pour les équations différentielles des trajectoires. Nous retrouvons la notion de ce qu'on appelle en Hydrodynamique le moment ou ïintensité d'un tube de tourbillon, quantité qui se conserve pendant toute la durée du mouvement. Cette propriété n'est qu'un aspect particulier de l'invariance de l'intégrale
«Sa; -h v8y -+- rvoz — Eot
pour les équations différentielles des trajectoires et pour celles des lignes de tourbillon.
Nous retrouverons du reste tous ces résultats comme cas particulier d'un théorème général sur les formes différentielles invariantes simultanément pour plusieurs systèmes d'équations différentielles.
Il est inutile de faire remarquer que tout ce qui précède suppose essentiellement que ?, 71, Ç ne sont pas nuls tous les trois, c'est-à-dire que le mouvement du fluide est rotationnel.
