I. — Notion générale d'invariant intégral

26. Les Chapitres précédents nous ont montré l'importance pour la Mécanique de la notion d'invariant intégral. Nous allons maintenant aborder celte notion dans toute sa généralité.

Considérons un système quelconque d'équations différentielles ordinaires du premier ordre (on sait qu'on peut toujours se ramener à ce cas) que nous écrirons

[ dxn Y

l 'dl ~ ' "•

Nous avons distingué la variable indépendante t et les variables dépendantes Xi, Xi, ..., x„, mais, comme nous le verrons, cette distinction n'a rien d'essentiel. Nous continuerons à dire que t représente le temps ; l'ensemble des valeurs de Xj, .... x„, t qui correspond à une solution sera dit constituer une trajectoire, que nous pourrons regarder comme une courbe dans l'espace à n -H 1 dimensions (xi, .... Xn, t).

Cela posé, H. Poincaré donne le nom d'invariant intégral à une intégrale (simple ou multiple) qui, étendue à un ensemble quelconque de points simultanés (c'est-à-dire correspondant tous à la même valeur de t), ne change pas de valeur lorsqu'on déplace les points de cet ensemble le long des trajectoires correspondantes jusqu'à un autre instant quelconque t'. L'invariant intégral est dit absolu si sa propriété d'invariance a lieu quel que soit le domaine d'inté-

gralion ; il est dit relatif si la propriété d'invariance n'a lieu que pour un domaine d'intégration fermé. L'invariant intégral linéaire

de la Mécanique est relatif ; l'invariant intégral double

If^'^'^'

de la Mécanique est absolu.

Les formes les plus «impies d'invariant intégral sont

-+- ai^X2 + . . . -h a„^Xn

^t -h Oi/^A -+-■••-+- 2aii^Xi5Xi -+-

27. La quantité sous le signe somme dans un invariant intégral est une forme différentielle dans laquelle entrent les variables, dépendantes et indépendante, et leurs différentielles (ou môme plusieurs séries de différentielles). Celte forme F peut être considérée en elle-même et elle jouit de la propriété que, calculée pour un point quelconque et un ou plusieurs points infiniment voisins, mais simultanés, elle ne change pas de valeur si on déplace ces points le long de leurs trajectoires respectives, mais en les laissant toujours simultanés. Il est bien clair qu'à ce point de vue, on pourrait considérer des formes F plus générales que celles qui sont susceptibles d'entrer sous un signe d'intégration, par exemple une fonction rationnelle quelconque (homogène) de èxi, .... Sx„.

Gomme nous l'ont montré les exemples traités dans les deux premiers Chapitres, il y a intérêt à ne pas se restreindre à la considération de points simultanés. Nous allons voir que tout invariant intégral élémentaire au sens de H. Poincaré peut être regardé comme résultant de la suppression, dans un invariant intégral élémentaire plus complet, de tous les termes qui contiennent la différentielle ou les différentielles de la variable indépendante t.

Mais, pour arriver à ce résultat essentiel et qui nous donnera la clef de presque toutes les propriétés des invariants intégraux, il est nécessaire de rappeler rapidement les propriétés classiques des intégrales premières d'un système d'équations différentielles.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFERENTIELLES INVARIANTES 27