II. — Intégrales premières

28. On appelle, comme on sait, intégrale première du système (i) une fonction u(xi, .,., Xn, i) jouissant de la propriété que si l'on y remplace a;i, ...,x„ par leurs valeurs en fonction de t correspondant à une trajectoire quelconque^ la fonction u de t ainsi obtenue se réduit à une constante. Ces intégrales premières sont les solutions de Téqualion aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

(2) — 4- Al h X2 h ... -+- X„ — = o.

Imaginons qu'on ait intégré les équations (i) et qu'on ait exprimé les variables dépendantes cci, .... cc„ en fonction du temps t et de leurs valeurs initiales x\^ xl, ..., xl pour / = o, soit

I =fi(t; x% ..., xl), .=/„(/; xî...., a.»);

ces équations, résolues par rapport à xi, ...,xl, donnent pour ces n quantités des fonctions de ari, ..., a:„, t qui sont évidemment des intégrales premières; on obtient ainsi un système de n intégrales premières, évidemment m(ié/)eAit/anies. c'est-à-dire qui ne sont liées par aucune relation identique en a;,,,.., cCn,^.

Il est clair que toute fonction des intégrales premières xl, .... xl est une intégrale première et réciproquement; car si u est une intégrale première quelconque, sa valeur numérique pour une trajectoire quelconque est, d'après sa propriété même, égale à u(x", ..., xl, o).

La différentielle totale de toute fonction ude Xi, x-i ..., x„, t peut manifestement se mettre sous la forme

du = Xi{dxi — XjC^O + l2(dx,^ — Xzdt) H- ... + K{d^7, — X„(ii) H- Idt ;

la condition nécessaire et suffisante pour que ce soit une intégrale première est que le coefficient À soit identiquement nul ; on peut s'en rendre compte facilement par un raisonnement direct ; on peut aussi le vérifier en remarquant que X n'est autre que le premier membre de l'équation {2). Donc la différentielle de toute intégrale première est une combinaison linéaire des n formes différentielles linéaires

dxi — Xidt, dxi — Xzdt, .... (ix„ — Xndt,

et réciproquement chacune de ces formes est une combinaison linéaire des différentielles de n intégrales premières indépendantes données.

III. — Invariants intégraux absolus et formes différentielles invariantes.

29. Cela pose nous allons d'abord nous occuper des invariants intégraux absolus. L'élément de tout invariant intégral absolu est une forme différentielle F(a;i, .,., x„,f ; Sa;,, ..., 8a:„) qui ne change pas de valeur sil'on déplace le point (x, , . . . , x„, t) et le point infiniment voisin (arj H- Sa*! , . . , , x„ -h Sa;», /) sur leurs trajectoires respectives, mais en les considérant toujours au même instant. En particulier considérons-les à l'instant t = o. Nous aurons

F{x^, ..., x„, t; Sx,, .... 8a;„) = F(xl. ..., x", o; ôx^, ..,, ox^).

Regardons maintenant dans le second membre les x° comme des intégrales premières du système (i) et remplaçons-les par leurs valeurs en fonction de X,, ..., X,, t ; nous obtiendrons une nouvelle identité

F{x% ..., xl, o; SxJ, ..., 8x^) = ^(x,. .... x„ t; Sx,, ..., ôa;„, 8/).

Le second membre de cette identité est manifestement une quantité dont la valeur numérique n'intéresse que la trajectoire définie par les valeurs initiales xj,..., xl et la trajectoire infiniment voisine. Sa valeur est donc indépendante du point particulier (x,, ..., x„, /) pris sur la première trajectoire et du point particulier (x, -+- 8x,, ..., x„ H- Sx„, t ■+- 8t) pris sur la trajectoire infiniment voisine ; c'est donc aussi un élément d'invariant intégral, mais d'un invariant intégral plus complet que celui qui nous a servi de point de départ, puisque maintenant nous ne sommes plus obligés de nous restreindre à la considération de points simultanés.

Remarquons maintenant qu'il est très facile de passer de la forme initiale F à la forme finale *. En effet si, dans le calcul de xj, ..., x*. SxJ, ..., 3x°, on regardait t comme une constante, on retomberait évidemment sur la forme F ; on a donc

*(xi, ..,, x„, t; oxi, ..., Sx„, o) = F(cci x,„ l ; ôxi, ..., ox„).

Or 5/ n'intervient que par l'intermédiaire de ox", .... Sx", et ces n différentielles sont des combinaisons linéaires de

Sxj — XiSi, 5x2 — X2S/, ..., ox„ — X„o/ ;

par suite * ne dépend que de ces n combinaisons linéaires et quand on a son expression pour 0/ = 0, on a immédiatement son expression pour ot quelconque en remplaçant oxi par Sxj — XiSf, etc.. Finalement on a

(3) *(x,,...,x„, <;Sxi,...,Sx„,SZ) = F(xi,...,x,„f;3xi— X,r:i,...,Ôx,.— X„ô<).

30- Résumons les résultats qui viennent d'être obtenus. Ils sont au nombre de deux.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 2(y

1° La forme F, qui constitue Vêlement d'un invariant intégral absolu au sens de H. Poincaré, et dans laquelle n'entrent que les différentielles des variables dépendantes, est associée à une forme plus complète * dans laquelle intervient en même temps la différentielle (ou les différentielles) de la variable indépendante t. On passe de la forme * à la forme F en supprimant les termes qui contiennent ot, et on passe inversement de la forme F à la forme * ea remplaçant respectivement

ÔXi, 8X2, ..., SXrt

par

5xi — Xiol, S.r2 — X^oi, ..., àx„ — X„of.

u" La forme 4» peut s'exprimer au moyen des intégrales premières du système (1) et de leurs différentielles.

Cette dernière propriété met en évidence le caractère invariant de la forme <ï».

Un exemple simple fera bien comprendre la relation entre les deux formes F et *. Si l'on part d'une intégrale quelconque 11, la différentielle totale o« est manifestement une forme * ; la forme F correspondante est

et l'on a bien

V àu ^ du - ôu .

dXi àXi bx„

* zzzz ou = ^ (ex, — XjSO -h ~ (ÔX2 — XM + ... 4- — (<^Xn — X^ot}.

31. Nous conviendrons de dire qu'une forme différentielle qui peut s'exprimer au moyen des intégrales premières du système (1) et de leurs différentielles est une forme invariante pour le système (i), La quantité sous le signe d'intégration dans un invariant intégral absolu s'obtient en annulant 8z dans une forme invariante. C'est ainsi que l'invariant intégral double de la Dynamique correspond à la forme invariante

ou, si l'on préfère, en introduisant deux séries de différentielles,

* = ^(^Pio'qi — ^iCi'pi) — BU^'t -h Siô'H . Son expression au moyen des intégrales premières p", ql est manifestement

* = ^{^P'^'q"' — SgîS'/)?).