IV. — Invariants intégraux relatifs. La fonction d'Hamilton

32. Une partie des résultats précédents s'étend à la théorie des invariants intégraux relatifs. C'est ainsi que l'invariant intégral linéaire de la Dynamique, tel qu'il est considéré par H. Poincaré,

3o LEÇONS SUR LES O VARIANTS INTÉGRAUX

ne changeant pas de valeur quand on déplace chaque état sur sa trajectoire de l'instant t jusqu'à un autre instant quelconque t\ est égal à l'intégrale

ypi

p)ùq^

Tout invariant intégral relatif peut donc prendre une expression où n interviennent que les intégrales premières et leurs différentielles et, sous cette forme, il peut être étendu, sans perdre son caractère d'invariance, à tout domaine fermé formé d'états simultanés ou non simultanés.

Mais si dans l'expression nouvelle on remplace les intégrales premières par leurs expressions en fonction des variables dépendantes et indépendante, on obtient sous le signe somme une forme * qui ne se déduit plus de la forme initiale F par le même procédé que dans le cas des invariants absolus. L'égalité

I F(xi, ...,x„, t; oxi,.. ., oxn) = I

*(a;i, ..., Xn t; 8x1, ..., Sa-„, 0)

a bien lieu en effet pour tout domaine d'intégration fermé formé de points simultanés, mais il n'en résultepas l'égalité terme à terme des deux sommes et l'on n'a plus nécessairement l'identité

F{xx, .... Xn, t; 8x1, ..., 5x,j) = *(a;i, ..., x„, t; occi, ..., 8ar„, o)

qui serait nécessaire pour qu'on pût en déduire, conformément à la formule (3),

^(xi,,..,Xn, t ; oxi,...,5x„,ot) = ¥(^Xi,...,x„, t; 0x1 — Xio/,...,Sa;„ — X„oi). C'est ainsi que dans le cas simple d'un point matériel libre, l'élément F = m{x'5x -h y'^y -+- 2'oz), qui entre sous le signe somme dans l'expression de l'invariant intégral linéaire de H. Poincaré, conduirait à la forme

m(x'8x ■+- y'oy -+- z'oz) — m(x'^ -h y'^ H- z'^)ot

qui n'est pas du tout un élément d'invariant intégral complet et qui ne diffère pas par une simple différentielle exacte, comme cela serait nécessaire, de la forme

tog = m{x'ox -+- y'oy + z'Sz) — - m[x'^ -\- y'* H- z'^) — U 8f.

11 est à remarquer que la difficulté qui se présente ici dans le passage d'un invariant intégral relatif au sens de H. Poincaré à l'invariant intégral complet n'a pas grande importance pratique, car tout invariant intégral relatif se ramène à un invariant intégral absolu. On sait en effet qu'une intégrale étendue à un contour fermé, à une surface fermée, etc., se ramène à une intégrale étendue à une aire limitée par le contour fermé, à un volume limité par la surface fermée, etc.

33. Il ne sera pas inutile d'illustrer par quelques exemples les considérations précédentes.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 3l

Reprenons l'invariant intégral linéaire (complet) de la Dynamique, c'està-dire le tenseur « quantité de mouvement-énergie n

WS = ^pfiqi — llol.

On a l'égalité

fypr^q<-not= f VpîoY,

où on suppose que le contour fermé (Cg) est formé des états qui constituent (C), mais déplacés sur leurs trajectoires jusqu'à l'instant t=o.On peut encore considérer l'intégrale du second membre comme étendue au même contour (G) que l'intégrale du premier membre, à condition d'y regarder les pi et les q* comme des fonctions des p ;, des q . et de /. De ce point de vue les deux expressions

Vp.S^;— Hôi et ^ploql,

donnant la même intégrale le long d'un contour fermé quelconque, ne différent que par une différentielle exacte, et l'on a

(4) "Vp«5<7.- — Ilot = oS -h ^p°o<j?.

La fonction S est ce qu'on appelle la fonction d'IIamilton, et elle a une interprétation concrète simple. Si nous nous reportons en effet à la formule (lo) du chapitre I" qui donne la variation de l'action le long d'une trajectoire variable, nous voyons que S peut être interprétée comme représentant Vàction entre Vinstant o et Vinstant t le long de la trajectoire qui aboutit à Vélat {p,q.t).

Cette fonction S a été considérée par Ilamilton et elle a, au point de vue historique, une certaine importance, car ce sont les remarques d'IIamilton à son sujet qui ont mis Jacobi sur la voie de ses découvertes relatives à l'intégration des équations de la Dynamique. Ilamilton remarque en effet que si on savait exprimer la fonction S, non pas en fonction des p., q; et t, mais en fonction des f/., q1 et t, on aurait par cela même intégré les équations du mouvement. L'identité (4), mise sous la forme

oS = Vp.5^; — H5^ — 'VpîSg*, donnerait en effet

Les deuxièmes équations donneraient les p . en fonction de t et des an valeurs initiales, les premières donneraient les quantités de mouvementp.. La dernière enfin montre que la fonction S est solution de l'équation aux dérivées partielles

La difficulté, dans celte conception, était non pas tant d'intégrer cette équation aux dérivées partielles, que d'en trouver une solution pour laquelle les constantes arbitraires q1 fussent précisément les valeurs initiales des q,. Jacobi résolut la difficulté en montrant que cette condition était tout à fait inutile pour faire servir l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (6) à l'intégration des équations du mouvement : c'est ce que nous avons déjà exposé brièvement au n" 14-

34. Il est assez instructif d'effectuer le calcul effectif de la fonction d'Hamilton S dans un cas simple, par exemple celui d'un point libre de masse i qui n'est soumis à aucune force. Ici les équations du mouvement sont

X = Xq l -\- Xq, X = Xq ,

y = joi + jo. y = jo'.

Z = Zo'l -+- Zq, z' = Zq'.

La différence

5S=u)S— (w5)o=a;'ôir-f-j'3j'+2'S2— l(a;'2H-y'î-|-2'2)Si— (xo'Sxo-Hjo'Syo+z/Sz^)

est égale à

{S=a;'Sx+/5y+z'oz— -(a;'2+/2|2'2^g/a;'5(a;to')— 7'S(j— //)— z'ô(z— <z')

=-(a;'^-l-j'2H-z'2)Si4-<(x'8a;'-|-v'Sj'-h2'ûz'), d'où, en tenant compte de ce que S doit s'annuler avec /, S = i (a;'2 + y'* -f- z'2)<.

En exprimant S au moyen de a:, )', z, a:^, j^, z^, /, on obtient

S = i (^ - Xq)^ + (y - jo)'' -+- (z - z,Y 1 t

De cette fonction les formules d'Hamilton (5) permettent de déduire le» équations du mouvement

, ôS a; — Xn , ôS X — a;„

— Xo

dx,

ôS

— Yo'

ôS

ÔZ

ÔZo