V. — Exemples. La forme « élément de matière

35. Après la parenthèse précédente, revenons aux invariants intégraux

fnhsolus.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET FORMES DIFFÉREHTIELLES INVARIANTES 33

Il est bon, dans les cas les plus simples, de se rendre compte direclemen du caractère d'invariance des formes différentielles * qui sexléduisent, comme il a été dit plus haut, des formes F en y remplaçant les ôx, par 5xi — X^5^

Prenons pour simpliGer un système de deux équations différentielles à deux fonctions inconnues

dx „

ît partons d'un invariant intégral linéaire absolu

I = I a(x, y, t)ox -h b{x, y, t)oy ; l'invariant intégral complet qui lui est associé est

J = I a{x, y, t) (Sa; — Xot) -+- b{x, y, t) (ôj — Yô<).

Partons dans le plan des xy d'un arc de courbe A^Bp et menons par les différents points de cet arc de courbe les trajectoires correspondantes ; on obtient ainsi une espèce de surface cylindrique dont les génératrices (non rectilignes) seraient les trajectoires. Traçons sur cette surface deux arcs de courbe MN et M'N' reliant la trajectoire issue de A^ à la trajectoire issue de Bj. Nous voulons démontrer que l'on a

•^MN =^ ''m's'-

Les deux arcs de courbe MN et M'N' limitent, avec les arcs de trajectoire MM' et NN', une aire fermée sur la surface; d'autre part Tintégrale J, étendue

à chacun de ces deux derniers arcs, est évidemment nulle, puisqu'on se déplaçant sur l'un de ces arcs, on a constamment

ox = Xô/, Sj = Yô/.

Par suite l'intégrale J étendue au contour fermé MNN'M' est

Jifiin'u' = Jmn — Jm'»',

et tout revient à démontrer par suite que cette intégrale est nulle. Or d'après

la formule de Stokes cette intégrale se ramène à une intégrale de surface

E. Cartan. — Leçons sur les Invariants intégraui. 3

étendue à l'aii-e MNN'M'. Nous allons montrer que celle intégrale de surface a son élément nul. En eflet pour cela décomposons la surface en éléments de surface par de petits parallélogrammes formés, d'une part d'arcs de trajectoire, d'autre part de sections par des plans t = const. Soit PQQ'P' un de ces éléments de surface. L'élément d'intégrale de surface correspondant est égal à

JpQ Jp'q'»

mais, comme les points de PQ sont simultanés, ainsi que ceux de P'Q', Jpq se réduit à IpQ et Jp'q' à Ip'q'. Or ces deux Intégrales Ipq et IpV sont égales, d'après la propriété admise pour I d'être un invariant intégral.

Donc l'élément d'intégrale de surface est bien nul et le théorème est démontré.

36. Un raisonnement analogue se ferait dans le cas d'un invariant intégral double

I / a(x, y, t)^xBy.

Ici le passage de la forme F à la forme * est un peu plus difficile que dans le cas précédent. On y arrive en assimilant l'élément de surface ùx8y à une force bilinéaire ôajS'j — SjS'cc ; il suffît pour cela d'imaginer un système indéterminé de coordonnées curvilignes (a, p) et de regarder ox, ôj comme le déplacement élémentaire relatif à un accroissement Sa de la première cooi'donnée a, et ô'cc, c'y comme le déplacement élémentaire relatif à un accroissement S'ô de la seconde j3. On a alors

F = a on en déduit

ox oy ô'x o'y

Sa; —X8t oy — Y8i I Sx oy 1 , 1 Sy ot \ ,. S< Sa;

I S'a; — XS'i S'j— Yô'/ j [o'x oy\ h J ^ M \o t 6 x\

ou, en revenant aux notations en usage dans la théorie des intégrales de surface,

* = a8a;Sj + aXSjSf -h aYSiSa;.

Considérons donc l'intégrale de surface

■If-'

xBy 4- aXojôf + oYUox

et cherchons à nous rendre compte directement de son caractère invariant. Imaginons pour cela dans le plan des xy une aire quelconque S^ et construisons les trajectoires issues des différents points de cette aire. Nous obtenons ainsi un volume indéfini limité par une espèce de surface latérale cylindrique engendrée par les trajectoires qui partent du contour de S^.

INVARIANTS 1>TEGRAUX ET FORMES DIFFERENTIELLES INVARIANTES

Coupons ce volume par deux surfaces quelconques : nous obtenons ainsi à l'intérieur du volume, mais «'étendant jusqu'à la surface latérale, deux aires (planes ou courbes) S et S'. Nous voulons démontrer que l'on a

Js = Js'. ,

Les aires S et S' délimitent, avec une portion de la surface latérale du cylindre, un volume V ; d'autre part l'intégrale J étendue à l'aire latérale qui limite ce volume est évidemment nulle, puisque, en appelant da l'élément d'aire, a, 0, y les cosinus directeurs de la normale, on a

a(y -+- Xa + Y(3)(fcr

et que la direction (X, Y, i), étant celle des tangentes aux trajectoires qui engendrent la surface latérale considérée, est normale à la direction (a, p, y). Il résulte de là que la diflerence Js' — ,]» peut être regardée comme l'intégrale de surface J étendue à l'aire fermée qui limite le volume V. Tout revient à montrer que l'intégrale de volume équivalente est identiquement nulle. Or l'élément de cette intégrale de volume est évidemment nul : il suffit pour s'en rendre compte de prendre pour volume élémentaire le volume limité latéralement par de petits arcs de trajectoire et aux extrémités par deux aires planes parallèles au plan des xy, car alors l'intégrale de surface J étendue à chacune des bases se réduit à l'intégrale I et la valeur de l'intégrale I est, par hypothèse, la même pour les deux bases.

37. La Cinématique des milieux continus va nous fournir une illustration concrète des considérations développées dans ce Chapitre.

Dans un milieu continu en mouvement, la trajectoire de chaque molécule peut être regardée comme une solution du système d'équations différentielles

-rr = U,

dt = '^

OÙ u, V, IV, les composanles de la vitesse, sont supposées exprimées en fonction de X, y, z, t. Soit d'autre part p(x, y, z, t) la densité à l'instant i au point (x, y, z). La masse qui remplit à l'instant i un volume quelconque V est donnée par l'intégrale triple

coyrjz ;

cette intégrale constitue évidemment un invariant intégral absolu au sens de H. Poincaré : c'est même le premier exemple d'invariant intégral donné par H. Poincaré. Si les molécules qui remplissent le volume V à l'instant i rem plissent le volume V à un autre instant t\ on a évidemment

p(x, y, z, t'jlxùy^z-

■ffi:

p(x', y', z', i'Yjx'ly'Zz'

La forme * associée à la forme F = pôa^SjSz va être calculée, comme dans l'exemple précédent, en écrivant F sous la forme

on en déduit

6a; — mA oy

— vit

o'x — uo't l'y

— vl't

— vo"i

d'où, par un calcul facile,

<ï> z=. ^(oxlyoz — voylizlt — vozoxoL

02 — luol o'z — xoo't o"z — wè"t

wlxlyot).

Cette forme * représente Vêlement de maiicre envisagé sous son aspect cinématique complet. Si l'on considère un ensemble quelconque à trois dimensions de molécules, et si l'on prend chaque molécule de l'ensemble à un instant quelconque t de son mouvement, on obtient dans l'univers à quatre dimensions (a;, y, z, t) un domaine à trois dimensions ; l'intégrale triple de * étendue à ce domaine sera égale à la masse totale de l'ensemble des molécules considérées. Si les molécules sont prises toutes au même instant t, elles remplissent à cet instant un certain volume V et l'intégrale de 4> se réduit à

l'intégrale

poxlycz. Mais c'est là un cas tout à fait particulier.

Considérons par exemple, pour fixer les idées, une aire S dans l'espace et l'ensemble de toutes les molécules qui travei'sent cette aire S entre un instant /q et un instant <i. Prenons chacune de ces molécules au moment où elle traverse luire S. Nous avons ici un domaine à trois dimensions de l'univers (x, y, z, t). Les états de ce domaine s'expriment facilement au moyen de trois paramètres <», P, y : il suffit pour cela d'exprimer les coordonnées d'un point

INVARIANTS INTEGRAUX ET FORMES DIFFÉRENTIELLES INVARIANTES 87

de S en fonction de deux paramètres a, 3 et de prendre t = y- On aura alors des formules telles que

les paramètres a et 3 prenant toutes les valeurs qui coiTCspondent aux différents points de l'aire S et le paramètre y prenant toutes les valeurs possibles de l'intervalle [t^, t^). L'intégrale de * étendue à ce domaine sera évidemment, en ne tenant pas compte du signe,

Jto ' L-'^w'^"'"^'"

:vozox -+- pwoxoy

L'intégrale de surface entre crochets représente leflax de matière à l'instant l à travers la surface S ; multipliée par «5/, elle représente la quantité de matière qui traverse la surface S dans l'intervalle {t, t -+- ol). L'intégrale totale représente donc, comme nous devions nous y attendre, la masse totale qui traverse S dans l'intervalle {Iq, ti).

38- Des remarques analogues s'appliqueraient à l'invariant intégral double que nous avons rencontré en Hydrodynamique (Chap. Il, formule (8))

J = I I $ôjoz-i-T,o2ox4-s'5a:&jH-(T,u' — ^i;)8a:ôf-i-(Cu— ;îi>)'5j'5i+(^y — Tju)ozô^

Nous avons vu (n° 25) que cette intt^grale, étendue à un ensemble à deux dimensions de molécules prises à un même instant t, représentait le moment ou l'intensité du tube de tourbillon formé des lignes de tourbillon qui partent de ces molécules. Considérons alors l'ensemble des molécules qui traversent un arc de courbe G dans un intervalle de temps (Iq, /,). Au lieu de prendre ces molécules à un môme instant t, prenons chacune d'elles à l'instant où elle traverse l'arc de courbe C. Le moment du tube de tourbillon dont elles font partie à un instant quelconque l sera égal à l'intégrale

fa, f

ùX