LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE D'UNE FORME DIFFÉRENTIELLE

La classe d'une forme différentielle.

39. Dans tout ce Chapitre nous considérerons des systèmes d'équations différentielles à n variables Xi, x^, ..., Xn, sans distinguer la variable indépendante par une notation spéciale : ce sera l'une quelconque des variables Xi, ..., x„. Autrement dit nous considérerons des systèmes d'équations différentielles de la forme

, . dx, dx-i dx,i

Un des premiers problèmes qui se posent dans la théorie des invariants intégraux est le suivant : Reconnaître si une forme différentielle donnée est invariante pour un système d'équations différentielles données, et, plus généralement, déterminer tous les systèmes d'équations différentielles qui admettent une forme différentielle donnée comme forme invariante.

Avant d'aborder la résolution de ce problème pour les formes différentielles qui se présentent le plus habituellement dans les applications, nous pouvons faire quelques remarques générales qui nous conduiront à un théorème extrêmement important.

Pour qu'une forme * puisse être invariante pour le système (i), il faut et il suffit qu'elle puisse s'exprimer au moyen des intégrales premières de (i) et de leurs différentielles. Donc une condition nécessaire pour qu'une forme donnée * puisse être forme invariante pour un système d'équations différentielles convenablement choisi est que celte forme puisse s'exprimer au moyen de m — i quantités au plus et de leurs différentielles.

40- Supposons alors que la forme donnée * puisse s'exprimer au moyen de r < n quantités ji, ..., jr (fonctions des Xi) et de leurs différentielles ;

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE d'uNE FORME DIFFÉRENTIELLE Sq

supposons en outre qu'e//e ne puisse pas s'exprimer d'une manière analogue au moyen de moins de r quantités. Dans ces conditions nous allons démontrer le théorème suivant :

Pour quan système d'équations différentielles admette <ï> comme forme invariante, il jaut et il suffit que ji, ..., Jr soient intégrales premières de ce système.

La condition est évidemment suffisante. Pour démontrer qu'elle est nécessaire, considérons un système d'équations différentielles admettant <î> comme forme invariante, et écrivons les équations de ce système en prenant comme nouvelles variables ji, .... jr et n — r autres quantités indépendantes yr+i, ..., ja. Soit

t^] dy^ ^j^ ^y^ — <>'— — fe ^'^ t: - T7 T7 - 'YZ7 t:

les équations de ce système. Si j,, ..., y, n'étaient pas toutes des intégrales premières, les r premiers dénominateurs Yi, ..., Y, ne seraient pas tous nuls ; supposons par exemple Y, ;zf o. On pourrait alors prendre y^ comme variable indépendante et la forme * ne changerait pas de valeur si on y remplaçait partout j, et ôj^ par o, puis

Ji» .... Jr-M J. + i, -Vrn

par leur valeurs initiales

yU .••, jLo jLi, "'>yl

regardées comme des intégrales premières du système (a), enfin les différentielles

par

Sjî, .... sj!.

Mais alors, comme 4> ne contient ni j,^,, ..., j„, ni leurs différentielles, la nouvelle forme obtenue ^ ne dépendrait que de jj, ..., j"i et de leurs différentielles ; autrement dit on pourrait trouver r — i fonctions z^, ...,Zr-i des Xi, telles que * puisse s'exprimer au moyen de ces r — i fonctions et de leurs différentielles. Ce résultat est contraire à l'hypothèse. Le nombre r sera appelé la classe de la forme *.