II. — Le système caractéristique d'une forme différentielle

41. Ce théorème extrêmement général comporte des conséquences importantes qui en feront mieux comprendre la portée.

Le système d'équations différentielles le plus général admettant la forme 4 comme forme invariante, écrit avec les variables y,, ..,, j„, est, d'après ce qui précède,

^•^^ T" - T "^ - Y, . . Yn '

OÙ Y,..i 1, ..., Y„ sont des fonctions arbitraires. Nous en déduisons immédiatement que toute intégrale première commune à ces systèmes est une fonction de Ji, ..., y,- Si par suite la forme * peut s'exprimer d'une seconde manière au moyen de r quantités z^, ..., z,. et de leurs différentielles, les Zi seront des fonctions des yi et réciproquement, puisque les r, sont des intégrales premières communes à tous les systèmes différentiels qui admettent «f comme forme invariante. Cela revient à dire qu'(7 n'y a essentiellement qu'une manière d'exprimer la forme * au moyen du nombre minimum de variables et de leurs différentielles, en ce sens que lorsqu'on a une expression faisant intervenir le nombre minimum r de quantités j,, .... j^, toutes les autres s'obtiennent en effectuant sur les y un changement de variables arbitraire. — Cette conclusion serait manifestement en défaut si r n'était pas le nombre minimum de variables.

42. Une autre conséquence est la suivante. Convenons de dire qu'un certain nombre, trois par exemple, de systèmes d'équations différentielles à n variables,

dx\ dxî

dx^

dx\ dxi

dx„

dx, dx,

dx^

sont linéairement indépendants s'il est impossible de trouver trois coefficients. X, X'j X" non tous nuls tels qu'on ait