I. — Cas du point matériel libre

1. On peut fonder toute la Mécanique analytique sur un principe qui ramène la détermination du mouvement d'un système matériel à la résolulion d'un problème du Calcul des variations : c'est le principe d* la moindre action d'Hamilton. Nous allons d'abord l'exposer dans le cas d'un point matériel libre soumis à une force dérivant d'une fonction des forces U, fonction donnée des coordonnées rectangulaires x, y, z du point et du temps t. Dans ce cas simple le principe d'Hamilton s'énonce ainsi : Parmi tous les mouvements possibles qui font passer le point matériel d'une position donnée [xq, y^, z^) à rinslani t^ à une autre position donnée {xi, j,, Zj) à Vinslant t^, le mouvement réel est celui qui rend minima l'intégrale définie

W = p ["i m(x'* -f- y'^ -^ z'^) -t- Ulrf/.

Dans cette expression m désigne la masse du point; x' , y', z' les composantes de sa vitesse; la quantité sous le signe somme s'appelle l'action élémentaire, et l'intégrale W est V action dans l'inlervalle de temps {t^, /,).

Pour démontrer ce principe, regardons x, r, z comme des fonctions de t et d'un paramètre arbitraire a et calculons la variation de W quand on donne à a un accroissement Sa, en supposant que x, y, pour l ^=.to et a Xi, Vj z^ pour t = ti, et cela quel que soit a. On a

= I m(x ex H- y ôv -h zoz) -+- — dx -^ ôy H Bz Idl :

J, L ^ -^ " ' ax ùY -^ ôc J

E. Cautas. — LeçoDs sur les Invariants intégraux.

da\bt J dt\doi j dt '

une intégration par parties donne alors, en remarquant que ôx, oy, s'annulent aux limites,

sw =

rte^

d'x\. /ôU

Sil

'on veut que SW soit nul pour a =

: O quelles >

que soient

les fonctions

Bx, Sj,

, 52 de f nulles

aux limites, il faut

et il suffit

, en appliquant un rai-

sonnement classique,

que l'on ait, pour a

/ dh

dz '

11 résulte de là que les mouvements que prend le point matériel sous Vaclion de la force donnée réalisent l'extremum de Vintégrale W par rapport à tous les mouvements possibles infiniment voisins correspondant aux mêmes positions initiale et finale du point, et de plus que ces mouvements sont les seuls qui jouissent de cette propriété.

En toute rigueur on ne peut parler que de l'extremum de l'action et non du minimum, car la condition que la variation première SW s'annule est une condition nécessaire et non suffisante pour le minimum,