XX

ÀXî

XX„-t-X'X„-hX"X„=o.

Nous dirons dans le cas contraire qu'ils sont linéairement dépendants.

La propriété de plusieurs systèmes d'être ou non linéairement indépendants subsiste évidemment par un changement quelconque de variables.

Parmi les systèmes (3) qui admettent * comme forme invariante, on peut manifestemeut trouver n — r systèmes linéairement indépendants, à savoir ceux qu'on obtient en faisant tous les dénominateurs ¥,..),, .... Y„ nuls sauf un. De plus tous les systèmes (3) dépendent linéairement de ces n — r systèmes particuliers.

Nous voyons donc que si une forme * est invariante pour n — r systèmes d'équations différentielles linéairement indépendants et n — r seulement, elle est invariante pour tout système qui en dépend linéairement, et de plus tous ces systèmes ont en commun r intégrales premières indépendantes.

LE SYSTÈME CARACTÉRISTIQUE d'u>E FORME DIFFERENTIELLE 4 1

43. Supposons par exemple n — r = 2. Il existe deux systèmes d'équations différentielles, soit

dx,

dx...

dx^

dx,.

admettant «!> comme forme invariante et tout autre système qui jouit de cette propriété dépend linéairement de ces deux-là. Appelons (C) les trajectoires du premier système, (r) celles du second. Menons par un point quelconque M de l'espace à n dimensions la trajectoire (G) et la trajectoire (r) qui passent par ce point ; prenons sur (G) un point quelconque P, et sur (F) un point quelconque Q ; enfin construisons la trajectoire (F') qui passe par P et la trajectoire (C) qui passe par Q. Ces deux nouvelles Irajecloires se coupent. Si en effet y,, ,.., j„2 sont les intégrales premières communes aux deux systèmes considérés, et si Oi, ..., a„2 sont les valeurs numériques de ces intégrales au point M, leurs valeurs numériques au point P et au point Q sont encore les mêmes, par suite, les courbes (C), (F), (F'), (G') sont toutes situées sur la même variété à deux dimensions

Jl = <^if y-i = «2. .-.. Jn 2 = «n-s'

donc enfin les deux dernières se coupent.

44. Le cas précédent se présente précisément pour l'invariant intégral double de la théorie des tourbillons, qui correspond à la forme dilïérentielle

(4) <ï> = ^ojoz-i-r,ozôxH-^oa:ôy-t-(T,?t' — ^v)oxot + [i^u — ^iv)ày5t-\-(^v — t^u)oz81.

Nous avons vu (n" 24) que les systèmes d'équations différentielles qui admettent •!> comme forme invariante sont ceux qui entraînent comme conséquence les trois équations

( r,{dz — ludt) — Z{dy — vdt) = o,

(5) ] Zydx — udt) — '';{dz — wdt) = o, l i[dy — vdl) — r^{dx — udt) = o.

Le plus général de ces systèmes peut s'écrire

dx dy dz dt

Xu -\- ti.^ Xy -f- fjir, \w -\- [JiC X

et il se déduit linéairement des deux svslèmes

dx dy dz dt

u V IV 1

dx dy dz dt

T ~ "tT ~ T ~ o '

qui définissent les trajectoires des molécules du fluide et les lignes de tourbillon. Les premières sont les courbes (G), les secondes les courbes (F) de tout à l'heure et les propriétés obtenues dans le cas général peuvent s'exprimer ici

a 2 LEÇONS SUB LES INVARIANTS INTEGRAUX

en disant que les molécules qui forment une ligne de tourbillon (T) à V instant t forment encore une ligne de tourbillon {T') à linstant t'. Le théorème de Helmholtz est ainsi une conséquence très parliculicre du théorème général démontré au début de ce Chapitre.

45. Nous avons supposé dans les deux numéros précédents n — r = 2. Des considérations géométriques analogues pourraient être développées quelles que soient les valeurs de n et de r ; elles reposeraient sur l'existence de variétés définies par r équations de la forme

Ji = ai, 72 = 02, ...,yr = ar

et telles que toute trajectoire d'un système différentiel (3) qui y a un de ses points y est contenue tout entière. Chacune de ces variétés, qui est à n — r dimensions, pourrait être obtenue en partant d'un point quelconque M, en menant par ce point une trajectoire d'un quelconque des systèmes qui admettent «i» comme forme invariante, en menant par un point quelconque P de cette trajectoire la trajectoire d'un autre quelconque de ces systèmes et ainsi de suite ; par ces opérations on pourrait engendrer toute la variété an — r dimensions et on n'en sortirait jamais.

Nous donnerons à ces variétés le nom de variétés caractéristiques de la forme *.

Les variétés caractéristiques peuvent être regardées comme résultant de l'intégration des équations

dyi = o, dji = 0, ..., dy,. = 0 ;

or ces équations, si on revient aux variables primitives Xi, ..., x„, sont constituées par l'ensemble des relations linéaires en dxi, ..., dx^ qui sont des conséquences des équations d'un quelconque des systèmes différentiels admettant <t> comme forme invariante.

On peut encore dire plus simplement : La condition nécessaire et suffisante pour que le déplacement élémentaire (dxi, ..., dx„) s'effectue dans la direction d'une trajectoire d^un système différentiel admettant * comme forme invariante se traduit analytiquemenl par un certain nombre d'équations linéaires en dx^^, ..., dxn- Ces équations, supposées au nombre de r indépendantes, définissent des variétés an — r dimensions dépendant de r constantes arbitraires telles quil en passe une et une seule par tout point de Vespace : ce sont les variétés caractéristiques. Le système d'équations aux différentielles totales linéaires lai-même est appelé le système caractéristique de la forme *.

46. Appelons pour abréger équation de Pfaff une équation linéaire en dxi, ..., dxn, et système de Pfaff un système d'équations de Pfaff. Un système de r équations de Pfaff à n variables peut toujours être regardé comme définissant r des variables, considérées comme variables dépendantes, en fonction des m — r autres considérées comme variables indépendantes. En gêné-

LE SÎSTÉME CARACTÉRISTIQUE d'u:NE FORME DIFFERENTIELLE 43

rai un tel système est impossible. Un résultat classique est,"par exemple, qu'une équation de PfafT à trois variables

Vdx + Qdy -h R(/z = o,

où l'on regarde z comme une fonction inconnue de a: et de j, n'admet de solution correspondant à des valeurs initiales arbitrairement données que si une certaine condition d'intégrabilité, à savoir

\dy dz J ^ \dz dx J \àx byj

est remplie : dans ce cas on dit qu'elle est complètement inlégrable.

On dit de même qu'un système de PfafT de r équations à r fonctions inconnues de n — r variables est complètement intégrable s'il admet toujours une solution correspondant à des valeurs initiales arbitrairement données des variables. C'est ce qui se passe pour le système de PJaff caractéristique d'une forme *.

Le théorème fondamental de ce Chapitre peut donc s'énoncer comme il suit :

Le système de PJaff caractéristique d'une forme différentielle quelconque * est toujours complètement intégrable.

47. Revenons une dernière fois à la forme «I» de la théorie des tourbillons. Le système de Pfalî caractéristique de cette forme est défini par les équations (5) ou, ce qui revient au même,

dx — udt dy — vdt dz — wdt ,

si nous savions exprimer qu'un tel système est complètement intégrable, nous arriverions nécessairement à la traduction analytique du théorème de Helmholtz. Quant aux; variétés caractéristiques, elles sont formées par l'ensemble de tous les états des molécules qui constituent une même ligne de tourbillon.

Pour l'invariant intégral double de la Dynamique, le système de Pfaff caractéristique se réduit aux équations du mouvement et les variétés caractéristiques aux trajectoires.

Il pourrait en être autrement si, comme nous l'avons fait dans la théorie des tourbillons, on ne considérait qu'une partie des trajectoires, par exemple toutes celles qui satisfont à un même système de relations entre les variables.