I. — La notion de système de Pfaff invariant

48. Au lieu de /ormes invariantes pour un système d'équations différentielles, on peut considérer des équalionn invariantes. II. Poincaré a utilisé en particulier des systèmes d'équations invariantes finies : ils jouissent de la propriété que si un point satisfait à un tel système, tous les points qui s'en déduisent par déplacement le long de la trajectoire correspondante satisfont encore à ce système. Pour employer un langage géométrique, la variété représentée par un système d'équations invariantes est engendrée par des trajectoires.

On peut aussi considérer des équations différentielles invariantes. Plaçonsnous d'abord, au point de vue restreint, dans le cas simple de deux équations différentielles

^'\ dt-^' rt-^-

L'équation

(2) ôj — m{x, y, t)ox = o

sera dite invariante au sens de H. Poincaré si, étant donnés deux points simultanés infiniment voisins quelconques {x, y, t), [x ■+- ^x, y -\- oy, t) satisfaisant à la relation (2), les points (x', y', t') et (x' H- ôx', y' -h oy', /') obtenus en les déplaçant le long de leurs trajectoires respectives jusqu'à un autre instant quelconque /' satisfont encore à la relation (2), c'est à-dire si l'on a encore

Sj' — m(x', y', t')ox' = o.

Si l'équation (3) est invariante dans le sens qui vient d'être précisé, elle sera équivalente à l'équation

(3) ôjo — m(a-o, jû. o)5X(, = o,

LES SYSTÈMES DE PFAFF INVARIANTS /|5

OÙ l'on désigne par x^, y^ les valeurs initiales de x, y dans la Irajccloire qui passe par le point (x, y, t). Si maintenant, dans cette équation (3), on regarde x^, y^ comme des fonctions de {x, y, t) et si on y remplace x^, y^ par leurs valeurs, cette équation prend évidemment la forme

(4) Sj — Yàt — m{Bx — X80 = o.

La nouvelle équation (4), d'après son origine même, aune signification invariante au sens complet de ce terme, car elle exprime une propriété intrinsèque des deux trajectoires con-espondant aux points (x, y, t) et {x ■+- ox, y -\- 8y.t-h8t).

Géométriquement l'équation (4) fait correspondre à tout point M {x, y, t) de l'espace un plan (P) passant par ce point, La propriété d'invariance signifie que la droite MMj qui joint un point M à un point infiniment voisin Mi est située dans le plan (P) correspondant au point M, et si l'on déplace M et Mi le long de leurs trajectoires respectives (en les laissant toujours infiniment voisins l'un de l'autre) jusqu'en M' et Mi', la droite M'M/ est située dans le plan (P') correspondant au point M'. Il est à remarquer que le plan (P) est tangent à la trajectoire qui passe par le point M.

D'après ce qui précède il est évident que si une courbe (C) satisfait en chacun de ses points à l'équation (4), c'est-à-dire en est une courbe intégrale, la surface engendrée par les trajectoires qui passent par les différents points de (C) est aussi une surface intégrale de l'équation (4). Cela ressort aussi analytiquement de la forme (3) de l'équation (4).

49. Les considérations précédentes se généralisent facilement. Etant donné un système d'équations différentielles

(5) ^dt=^^ {i=i,2,...,n), un système d'équations de Pfaff

a, ,ôa:, + ... -h a,,/^x„ •+ a,o< = o,

a^i^Xi H- ... -h a,.^oa*„ -+- a,fil = o

sera dit invariant pour le système (5) si les équations (6) peuvent s'exprimer uniquement au moyen des intégrales premières de (5) et de leurs différentielles, par exemple sous la forme

' alioxl 4- (7)

„ôx! = o.

Cela exige d'abord que les équations (6) soient identiquement vérifiées quand on y remplace Sa-j par 'Xfit ; mais cette condition n'est évidemment pas suffisante. Quoi qu'il en soit, si le système de Pfaff (6) est invariant, il jouit d'une propriété géométrique importante, c'est que étant donnée une variété

inlégrale quelconque du système (6), la variété obtenue en menant par chaque point de la variété donnée la trajectoire correspondante des équations (5) est encore inlégrale ; cela résulte en effet de ce que si l'on se déplace sur cette nouvelle variété, en un point quelconque, les équations (7) ne (cessent pas d'être vérifiées.

(Il est entendu qu'on appelle variété intégrale une variété telle que si l'on se déplace sur cette variété dans une direction quelconque {oxi, ..., Bt) les équations (6) sont vérifiées).

De là résulte que toute variété intégrale du système de PJaJf invariant (6) jouit de la propriété, ou bien d'être engendrée par des trajectoires des équations données (5), ou bien de faire partie d'une variété intégrale à un plus grand nombre de dimensions engendrée elle-même par des trajectoires.