II. — Le système caractéristique d'un système de Pfaff
50. Etant donné un système de Pfaff quelconque à n variables (x^ rr„)
( ùiiOXi -h ... -H ai„5a;„ = o, (8)
( «Aïoa;! + ... + aun^Xn = o,
on peut se proposer de déterminer tous les systèmes d'équations différentielles , ^ cfa"j __ dx^ dx„
pour lesquels le système (8) est invariant. C'est un problème que nous résoudrons plus loin, mais sans le résoudre on peut démontrer à l'égard de tous ces systèmes un théorème important, identique du reste à celui qui a été démontré dans le Chapitre précédent à propos d'une forme différentielle donnée.
Supposons que les équations données (8) puissent s'écrire au moyen de r quantités Vi, ..., j,., fonctions des x et de leurs différentielles, sous la forme
( ^nCjyôji 4- ... + 6j,.(j)oj,, = o.
A hiiyy^yi + ... + hr{y)oyr = o, et supposons de plus qu'elles ne puissent pas s'écrire au moyen de moins de r quantités et de leurs différentielles. Le nombre r s'appellera la classe du système. La condition nécessaire et suffisante pour que l& système de Pfaff (8) soit invariant pour les équations (9) est que ces équations (9) admettent Ji» J2, ••-, yr comme intégrales premières.
La démonstration est exactement la même que dans le Chapitre précédent et les conséquences qu'on en tire sont aussi les mêmes. En particulier les équations qui expriment que le système de Pfaff donné (8) est invariant pour le système d'équations différentielles (9) se réduisent à r équations linéaires
LES SYSTÈMES DE PFAFF INVARIANTS [\J
en Xi, ..., X„, ou, ce qui revient au même, à r équations linéaires en dx^, ..., dxn, et ces r équations forment un système de Pfafl" équivalent à
dyi = 0, .... dyr=- o,
c'est-à-dire complètement inlégrable. Ce système de Pfaff s'appelle le système caractéristique du système de Pfaff donné (8) ; les équations du système caractéristique peuvent du reste s'obtenir en ajoutant aux h équations (8) du système donné r — h autres équations.
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de Pfaff (8) soit complètement inlégrable est évidemment qu'il coïncide avec son système caractéristique, de sorte que si on sait former le système caractéristique d'un système de Pfaff quelconque, on saura par cela même exprimer qu'il est complètement
51. II est évident qu'un système de Pfaff (8) peut être regardé comme invariant pour son système caractéristique ; toute variété intégrale du système (8) ou bien est engendrée par des variétés caractéristiques, ou bien fait partie d^une variété intégrale à un plus grand nombre de dimensions engendrée elle-même par des variétés caractéristiques.
Si l'on considère une forme différentielle quelconque, et si cette forme est invariante pour un certain système d'équations différentielles, le système de Pfaff caractéristique de la forme est invariant pour ce même système d'équation^différen tielles .
C'est ainsi qu'en Hydrodynamique le système de Pfaff
ox — uot oy — v5t oz — ivot
est invariant pour les équations différentielles des trajectoires des molécules fluides (comme aussi pour les équations différentielles des lignes de tourbillon).
Tous ces théorèmes;, et d'autres qu'on pourrait facilement imaginer, sont des conséquences immédiates de la propriété caractéristique d'un système invariant de ne faire intervenir que les intégrales premières des équations différentielles pour lesquelles il est invariant.
52. Considérons, soit une forme différentielle, soit un système de Pfaff, soit même l'ensemble de plusieurs formes diflérentielles et d'un système de Pfaff, et désignons par j,, ...,yr les intégrales premières du système de Pfaff caractéristique, soit de la forme différentielle donnée, soit du système de Pfaff donné, etc. Il est évident que si Von porte son attention uniquement sur la manière dont figurent les différentielles oXi, ..., Sx„ dans la forme différentielle, ou dans le système de Pfaff -etc., sans se préoccuper des coefficients, ces différentielles entrent dans les seules combinaisons Sji, ..., oy,.. Mais il se peut aussi qu'elles n'entrent que par des combinaisons linéaires en nombre inférieur à r. En tous les cas si l'on connaît les combinaisons linéaires en nombre minimum
l[8 LEÇONS SUR LES I1SVARIA>TS I>'TÉGUAUX
des cxj au moyen desquelles peut s'exprimer la forme (ou le système dePfalT, etc.) les équations obtenues en annulant ces combinaisons linéaires font partie du système caractéristique.
m. — Le rang d'une forme algébrique et son système associé.
53. Les considérations qui précèdent gagneront en netteté si nous démontrons, à l'égard des formes algébriques, un théorème analogue à celui qui nous a conduits à la notion de système caractéristique :
Si une forme algébrique à n variables «i, .... u^peut s'exprimer au moyen de r combinaisons linéaires indépendantes Vi, ..., v,. des variables sans pouvoir s'exprimer au moyen d'un moindre nombre, si de plus on a trouvé une autre expression de la forme au moyen de r autres combinaisons linéaires w^, ,.., Wr des variables, les iVi sont des combinaisons linéaires indépendantes des Uj.
En effet considérons les 2r formes linéaires
Vi, ..., V,.; ivi, ..., lu,.,
des variables données. Supposons que parmi ces formes il y en ait ar — p indépendantes (o <^ p <^ r) ; cela revient à dire qu'il existe p combinaisons linéaires indépendantes des v qui sont en même temps combinaisons linéaires des w ; appelons les <j, ..., tp. Supposons encore, ce qui est permis, que ti, ..., tp sont des combinaisons linéaires indépendantes à la fois de Vi, .,»,Vp et dewi, ..., wp. On a alors une double égalité delà forme
F(a;i, ..., ar„) = <ï>(ii, ..., tp; up+i, .... v,) = W(li, ..., tp ; iup4 i, ..., w,.).
Les quantités <j, ..., tp, vp+i, ..., v,., î^p+i, ..., iVr étant indépendantes, cela n'est possible que si <J> par exemple ne dépend pas de Vp+i, .... Vr. Cela n'est compatible avec l'hypothèse que si p = r, et alors le théorème est démontré.
Le système d'équations linéaires
sera appalé le système associé de la forme donnée. La notion de système associé s'étend évidemment à un ensemble de formes, ou encore à un système d'équations algébriques. Nous dirons que l'entier r est le rang de la forme.
D'après cela le système caractéristique d'une forme différentielle contient toujours le système associé de cette forme, considérée comme forme algébrique en oxi, ..., 8a"„. Mais il peut contenir d'autres équations que celles du système associé.
