I. — Le système associé d'une forme quadratique

54. Nous n'avons qu'un mot à dire des formes algébriques ordinaires, formes quadratiques, cubiques, etc.

Une forme quadratique

(i) F(x) = 2 aijiiiUj = anu'i + 022?/.] + ... + aOiaUiUo + •••

est, comme on sait, réductible à une somme de carrés ; ces carrés sont au uombi-e de n indépendants si le discriminant de la forme est différent de zéro. Nous nous proposons de déterminer le nombre minimum de variables au moyen desquelles (par une substitution linéaire convenable) peut s'exprimer la forme. Il suffit, pour obtenir ces variables, de considérer le système d'équations linéaires

, , ôF ôF ôF

^ ^ ô«l ô«2 àUn

Il est d'abord évident que ce système est indépendant du choix des variables. Supposons qu'il se réduise à r équations indépendantes, qu'on peut toujours supposer être

a?! = o. Xi = o, ..., Xr= o.

Cela posé la forme F peut s^ exprimer au moyen des r variables Xi, ..., Xr et ne peut pas s'exprimer au moyen de moins de r variables.

Exprimons en effet F au moyen de aîi, ..., x,. et de n — r autres formes indépendantes Xr-^-i, ..., Xn : la variable x^^i par exemple n'entrera pas dans F, car, si elle y entrait par un terme tel que kx^+i x^, l'équation

ôF ^

ÔXot

contiendrait x^^i, ce qui est contraire à l'hypothèse.

E. Cahtar. = Leçons sur les Invariants intégraux. 4

50 LEÇONS SUR LES HNYARIANTS INTEGRAUX

Réciproquement supposons que la forme F puisse s'exprimer au moyen de p <^ r variables jj, y2, ..., yp ; le système (2) formé en partant de variables

ji, >,., yp, ■■■, ynt ne contiendrait manifestement que les variables y 1 jp;

il faut donc p = r et le système (2) se réduirait alors à

les ji, ...,yr sont donc des combinaisons linéaires indépendantes de arj, ...,Xr.

La dernière partie de la démonstration montre, ce que nous savions déjà, que l'expression de F au moyen du nombre minimum de variables n'est essentiellement possible que d'une manière^ à une substitution linéaire près sur ces variables en nombre minimum.

Le système (2) est le système associé de la forme F.

Ce qui précède s'étend à une forme entière et homogène de degré quelconque. Si par exemple F est une forme cubique, le système d'équations linéaires associé sera obtenu en annulant toutes les dérivées secondes de F

dllidUj

ce système donne les variables en nombre minimum au moyen desquelles peut s'exprimer F.

II. — Les formes bilinéaires alternées et les formes quadratiques extérieures.

55. Les formes dont nous allons maintenant nous occuper sont celles qui interviennent sous un signe d'intégrale multiple quand on y considère les différentielles comme des variables. Ce sont des formes qui ont des règles de calcul spéciales sur lesquelles il n'est pas inutile d'insister.

Partons d'une forme bilinéaire

à deux séries de variables

«1, '", «n; Vi, ..., u„.

Une telle forme est dite symétrique si elle se conserve quand on échange les deux séries de variables :

et alternée si elle se conserve avec changement de signe dans les mêmes conditions :

Les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients pour que la forme soit symétrique sont

LES FORMES A MULTIPLICATION EXTERIEURE 5l

es conditions pour qu'elle soit alternée sont

«t; + aji = o, an =z o.

Si on soumet les deux séries de variables Uj et u, à nne'même substitution linéaire, la forme J{u, v) se change dans une nouvelle forme biiinéaire F(U, V) des nouvelles variables U;, V^, et il est évident que la forme F(U, V) est encore symétrique si J l'était, alternée si /l'était : cela tient à ce que l'échange des deux séries de variables nouvelles U et V revient à l'échange des deux séries de variables primitives u et v.

A toute fonction biiinéaire symétrique /(«, v) on peut faire correspondre ne forme quadratique, à savoir /{«, u), et la correspondance est réciproque. Si l'on pose

on a

,, , 1/ ôF ôF ôF\

Une correspondance analogue ne peut plus s'établir pour les formes alternées, car J{u, u) dans ce cas devient identiquement nulle. C'est à cet inconvénient qu'on peut obvier de la manière suivante.

56. Remarquons d'abord que, dans une forme biiinéaire alternée, les'coefficients des termes uiVi sont tous nuls et que les coefficients des termes u^Uy et <,Uj sont opposés. On peut alors écrire

/(«, u) = 2 ('iÂ'^iVj — «y^i).

la somme du second membre étant étendue à toutes les comfcmawon* des m indices deux à deux, de sorte qu'il y a ^ ^ termes dans ce second membre. L'expression UiVj — UjVi n'étant autre que le déterminant

on peut, par une convention d'écritare, la désigner par la notation

UiVj UjVi = [Ui Uj],

en écrivant l'un à la suite de l'autre les deux éléments de la première ligne et en la mettant entre crochets. Avec cette notation, on a

Convenons de même de désigner par la notation [J{à)J'(u)] la forme biiinéaire alternée définie par le déterminant ,

OÙ f eif désignent deux formes linéaires quelconques f(a) = a, H, -t- a^u^ -h ... -i- a^u,^, f'{u) = a',a, + d„iii H- ... + «'„«„•

Si on développe le déterminant précédent, on trouve immédiatement

/w/'(")U vya,a,|°'"'i=yy,

[/(«)/'(«)] =iy(„;>y)

À^Âu

La comparaison du premier et du dernier membre montre que le développement de [/(«)/'(«)] P^f^t s'obtenir en regardant cette expression comme un produit, en développant ce produit suivant les règles ordinaires de l'algèbre, mais en ayant soin de ne pas changer l'ordre des facteurs dans les produits partiels et de convenir que tout produit partiel qui contient deux variables identiques est nul et que tout produit partiel de deux variables différentes change de signe quand an change l'ordre des facteurs.

La multiplication dont les règles viennent d'être énoncées est due à H. Grassmann qui lui a donné le nom de multiplication extérieure.

En utilisant cette opération, on voit qu'on peut faire correspondre à toute forme bilinéaire alternée une forme du second degré à une seule série de variables, mais à multiplication extérieure, et réciproquement à toute forme quadratique à multiplication extérieure correspond une forme bilinéaire alternée.

Nous dirons pour abréger « forme extérieure » au lieu de « forme à multiplication extérieure ».

57. Si dans une forme extérieure F(u) on effectue sur les variables une substitution linéaire, la nouvelle forme s'obtient simplement en développant chaque produit partiel [mj Uj] en fonction des nouvelles variables.

La dérivée partielle — d'une forme quadratique extérieure se définira

simplement comme la somme des dérivées partielles de ses termes ; un terme qui ne contient pas «t aura naturellement une dérivée nulle ; quant à un terme qui contient «1, on pourra toujours supposer «1 amené à la première place dans le'^produit partiel ; la dérivée de A[mi «,] sera alors Au,. On a par exemple

àui ' ôa2 *' 0U3 » •••> j^y^^

Avec ces conventions on a

où les produits partiels du second membre sont des produits extérieurs. Si F(u) correspond à la forme alternée /(u, y), on a manifestement

f, s / ôF ôF ôF

\ oUi 0U2 du„

OÙ les produits partiels se font suivant les règles de la multiplication ordinaire.

Remarquons enfin que si l'on effectue sur les U; une (substitution linéaire

«■• = haUi -H ... + hinVn (i = 1, .-., n)

et si F(u) devient par cette substitution *(U), on a

ô* , ôF . , ôF , . . ôF

comme si F était une forme algébrique ordinaire.