Le système d'équations linéaires
.o, ôF ôF ôF
où F est une forme quadratique extérieure donnée, est évidemment indépendant du choix des variables. On peut donc supposer qu'il se réduise aux équations
S'il en est ainsi la forme F ne dépend pas de u^^i, ..., «„; si en effet elle contenait un terme tel que A[Ur+i«a], l'équation
ne serait pas une conséquence des équations (3). La forme F peut donc
s'exprimer uniquement au moyen des premiers membres des équations (3).
Réciproquement supposons que la forme F puisse s'exprimer au moyen de
p-^r variables Vj, Vo, ..., Vp. Les premiers'membres des équations du système
ôF ôF
du, ' dVn
ne dépendraient que de Vi, ..., Vp] ce système contiendrait donc p équations indépendantes au plus. Par suite on a p = r et les u, sont des combinaisons linéaires des Uj.
Le système associé d'une forme quadratique extérieure s^obtient donc en annulant toutes ses dérivées partielles du premier ordre.
59. Ce résultat peut ôtre précisé ; nous allons montrer que le rang r est nécessairement pair, et trouver en même temps pour les formes quadratiques extérieures une forme réduite jouant le même rôle que les sommes de carrés pour les formes quadratiques ordinaires.
Supposons pour fixer les idées que le coefficient Ui^ de F(m) ne soit pas nul, et considérons la forme
I FôF ôF") I ,, ,, ,,
r" k;r ^ = /T (ai2«2 + ai3«3H- ... -t-am»») (a2i«i -ha^^Us-h... + a2„a„) ;
3)2 L"*»l OU2 J «12
cette forme a les mêmes coefficients que F pour les termes eu
[UlWa], Ϋ1«3J [«l"ni. [«2«î], ..., LU2«n],
c'est-à-dire pour les termes qui contiennent l'une au moins des variables Uj et Ui. Par suite la forme
ôF ôF
^, . I TôF ôF 1 ^,, .
ne contient plus que les variables u^, u,,, ..., u„. Supposons alors que le coefficient a» de cette forme ne soit pas nul ; on verra de même que la forme
F'(„)--Lr»i:?E:]=F'(u)
ne contient plus que les variables «3, «,;, ..., «„. On peut continuer ainsi de proche en proche jusqu'à ce qu'on arrive à une forme identiquement nulle. Supposons par exemple qu'on ait
F(„) = i [îF î^]+ j, r?F' èF'i ^ 4. pz ?!•].
^ ^ OisLôUi ÔU2J OatlôUg ôUiJ OseLôUs ô«6j
Les six formes linéaires
ôF^ ôF,
ôF,
ëE.', ëI!, ^'
ÔUi* ÔU2'
ô«4 ô«5 ÔUe'
sont manifestement indépendantes. En
i posant
ôUi
ôF ,.
ôF" „ ,,
la forme F se réduit à la forme canonique cherchée
Le raisonnement est évidemment général et conduit à la forme canonique
F(U) = [U1U2] + ... + [U2.iU2,] (2S < n).
Le système associé est évidemment
Ui = U2 = ... = U2, = o.
Ce résultat aura plus loin une très grande importance.
60. La réduction d'une forme quadratique extérieure à sa forme canonique est évidemment possible d'une infinité de manières ; l'ensemble des substitutions linéaires qui font passer d'une forme canonique à une autre constitue un groupe important qui dépend de s(2s + i) paramètres arbitraires. Si s = I ces substitutions à deux variables sont caractérisées par la condition d'avoir leur déterminant égal à l'unité.
m. — Les formes extérieures de degré supérieur à deux.
61, On peut imaginer des formes extérieures d'un degré quelconque. On y arrive le plus naturellement en partant d'une forme linéaire à p séries de
variables u,, Vi, ..., iVi
satisfaisant à la condition que l'échange de deux séries de variables entre elles reproduise la forme, mais changée de signe. Dans le cas p = 3 par exemple cette hypothèse entraîne comme conséquence que tout terme où le même indice entre deux fois a son coefficient nul et que l'ensemble des termes où entrent trois indices distincts, par exemple i, 2, 3, est de la forme
IUi «a «3 Vi u« 1^3 .
Wi W2 W3
La même convention d'écriture que ci-dessus conduit à une loi de multiplication distributive, mais non commutative, chaque produit partiel changeant de signe si on échange entre elles deux des variables qui y entrent. On aura par conséquent
On pourra d'après cela définir un produit extérieur tel que
où F, *, 1' sont des formes extérieures de degrés quelconques ; le degré du produit est la somme des degrés des facteurs. Le produit est nécessairement nul si la somme des degrés dépasse n. On constate facilement que si l'on échange entre eux deux facteurs du produit, le produit ne change pas si l'un au moins de ces facteurs est de degré pair, et il se reproduit changé de signe s'ils sont tous deux de degré impair. On définira de même une somme de produits de cette nature.
En particulier le produit d'une forme par elle même est nul si cette forme est de degré impair, mais il n'est pas nécessairement nul si elle de degré pair. Prenons par exemple une forme quadratique F réduite à sa forme canonique
on a
- j F^] = [UlU2U.^U^] -h [U,U2«B«6] + 'v- H-Î[M2*-3«2*-2W2»-1«2*J, g-j[F3] = [UiUiU.U^U.U,] -4- ...,
-r [F'] = [uiUaUjU^ ... «2.-i«2*j,
Le rang as d'une forme quadratique F est donc le double du plus grand exposant de la puissance à laquelle on peut élever F sans qu'elle s'annule.
Une application simple à la théorie des déterminants est la suivante. Soit
F = ai2[«iaj] + a,3[«iW3] + an[alU^] 4- a^siuiU^] -h «^^[«iUj + a^ilJi.ii^] une forme à quatre variables ; on a
l [F2] = (0,203^ — a^,a,, -+- ai^a,,)[a,u,u,u^] ;
d'autre part le système associé de F est
ai2W2 -+- ai3«3
H- OuU^
H- 023173 + an«4
asiUj
«ilUl
La condition pour que la forme puisse s'exprimer au moyen de moins de quatre variables est d'une part qu'on ait [F*] = o, c'est-à-dire
d'autre part que le déterminant du système associé soit nul, c'est-h-dire
o 012 Oi3 Oii
O21 O O23 Oot
Ces deux équations sont équivalentes, malgré les apparences ; on démontre en effet que le déterminant, qui est symétrique gauche de degré pair, est le carré de l'expression
O12O34 O13OJ4 -H 014023-
62. Toute forme extérieure de degré n (égal au nombre des variables) est de la forme
A[oi«2 ... ««].
On peut obtenir des formes canoniques lorsque le degré est n — i ou n — 2. On y arrive facilement par la notion déforme adjointe d'une forme donnée.
Considérons une forme F de degré/) et désignons par $, $',..., Ç("~^~i) des formes linéaires à coefficients indéterminés
Le produit extérieur [FW ... $("~p~^'] est de degré n et par suite de la forme
*[uiH2 ... «„];
le coefQcient 4» est linéaire par rapport à chaque série de coefficients i, de plus il est alterné ; il lui correspond donc une forme extérieure de degré n — p aux variables ^i, ..., ?„ : c'est par définition la forme adjointe de F.
Si l'on effectue une substitution linéaire sur les u et si l'on effectue en même temps sur les ^ une substitution linéaire qui conserve l'expression ^i«i H- ... 4- ?„u„, l'expression *[»! ... m„] se conserve évidemment; autrement dit la forme adjointe se reproduit multipliée par le déterminant de la substitution effectuée sur les variables u.
La forme adjointe d'une forme F = Fi H- F2 est évidemment la somme des formes adjointes *, et ^2- De même la forme adjointe de aF, où a est un coefficient numérique, est a*. D'après cela il suffit, pour calculer la forme adjointe d'une forme quelconque, de savoir calculer la forme adjointe d'une forme monôme telle que
F = [UaiMa^ ... «aj.
En appliquant la définition donnée, on trouve
les indices ap^i, ..., a„ étant ceux des indices i, 2, ..., n qui ne figurent pas
dans la suite «i, «j, ..., a^; ces indices sont supposés rangés dans un ordre
tel que la suite totale
«1, ..., dp, CCp+i, ..., «n
soit paire.
63. Supposons d'après cela que F soit une forme de degré n — 1 ; la forme adjointe sera du premier degré ; on pourra donc la supposer réduite à |„ par exemple, de sorte que F peut toujours se ramener à avoir l'expression
F = [ui«2 ... Hm-i]- Supposons maintenant F de degré n — 2 ; la forme * sera du second degré; on pourra donc toujours la supposer donnée par la formule
par suite on aura
F = [asUiUs ... Un] -h [«iU^U5«6 ... Un] -+- ... H- [UiUi ... U2<(-2W2»+1 ••• ««]•
Si 5 = 1, F se réduit à une forme monôme.
Par exemple si n = b, toute forme F de degré 5 — 2 = 3 est réductible à l'une des formes canoniques
F = [«sUtUs], F = [uiUjUg] + [U3«4«5] ; si n = 6 toute forme F de degré 4 est réductible à l'une des formes F = [usUiU^u^],
F = [U3H4«o«6] ■+- [UiUiU^a^] = [([u^u,] H- [a,«t])«5«6],
F = [usu^u-^u^] -h [uiu^ugae] -f- [«lajMsMt] =^ [[«1W2I -+- («s»;] + [«ii^ellS
58 LEÇOSS SUR LES liWARIAMS INTÉGRAUX
La notion de forme adjointe permettrait de déûnir le produit de deux formes dont la somme des degrés dépasse n : c'est l'opération appelée par II. Grassmann mulliplication extérieure régressive, mais nous ne l'utiliserons pas.
64. Signalons encore quelques applications de la multiplication extérieure. Supposons que/1,/2, ...yfh soient h formes linéaires iWépenc/anies. L'équation
où F est une forme extérieure quelconque, donne la condition nécessaire et suffisante pour que F s'annule lorsqu'on établit entre les variables les relations
fi = o, /2=o, ..., Jk = 0.
En effet on peut d'abord se ramener au cas où l'on aji = «;. Si alors tout terme de F contient l'une au moins des variables u^, ..., Uh, il est évident que le produit [Fui ... u/,] est nul. Réciproquement si ce produit est nul, un terme quelconque de F contient en facteur l'une au moins des variables Ui, .... «ft, sinon en effet la multiplication de ce terme par [uj ... u^] donnerait un produit non nul, qui ne pourrait se réduire avec aucun autre.
