IV. — Le système associé d'une forme extérieure

65. La détermination du système associé se fait aussi facilement pour une forme extérieure de degré quelconque que pour une forme quadratique. Si la forme est de degré p, le système associé s'obtient en effet en annulant toutes les dérivées partielles de F d'ordre p — i . On [définira une dérivée

du premier ordre telle que -- comme le coefficient de «i dans l'ensemble des

termes de F qui contiennent cette variable, en prenant préalablement la précaution de faire passer Uj au premier rang dans chacun de ces termes. 11 est

à remarquer que cette dérivée — ne dépend plus de «i . La dérivée

sera par définition la dérivée par rapport à «2 de — : on l'obtient par suite

en prenant l'ensemble des termes de F qui contiennent à la fois les deux variables «1 et a^, en faisant passer dans chacun de ces termes la variable «1 au premier rang et la variable «2 au deuxième, et en supprimant enfin dans tous ces termes les deux variables «1 et U2. On a d'après cela

Les dérivées partielles d'ordre supérieur se définissent de la même manière : elles sont nécessairement prises par rapport à des variables toutes différentes.

Le rang d'une forme non identiquement nulle de degré n est évidemment égal à n. Le rang d'une forme de degré n — 1 est égal h. n — i . Le rang d'une

forme de degré n — 2 est égal à n — 2, si elle est réductible à une forme monôme, à n dans tous les autres cas. Si le degré est inférieur an — 3, on ne peut rien dire a priori sur le rang.