DU

ÔU2

ôF

Plus généralement on pourrait supposer les variables liées par un nombre quelconque de relations

f^QiUi -f- aoUo -f- ... 4- a„«,i = G, g ^ b^U^ -f- 62«2 H- ... + K"n = O,

h ^ /jUt H- /5«2 H- ... + 'n"n = O.

Le système associé de F serait alors défini par les formules ôF ôF ôF

dUi

ûl

.. On

égaler à zéro la matrice qui vient d'être écrite signifie annuler tous les déterminants formés avec les lignes de cette matrice et le même nombre de colonnes.

On peut remarquer que le rang 2s' de la Jorme F, quand on suppose les variables liées par les relations données, est le double du plus grand exposant tel que la forme

. [fg..,hF"].

ne soit pas nulle.

60 LEÇO?fS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

67. Supposons en particulier que n = as et que la forme F soit de rang n. Si on lie les variables par une seule relation, il est évident que le [rang de la forme ne peut pas dépasser n — i = as — i et, comme ce rang est pair, il est au plus égal à as — a. Il est du reste facile de voir qu'il ne peut pas descendre au-dessous de cette limite.

Il résulte de là que si on lie les variables par p relations linéaires indépendantes, le rang de F diminuera au plus de ap unités. Cherchons dans quel cas la diminution maiima sera atteinte. Si les relations sont

il faudra et il suffira qu'on ait

Cette condition peut être remplacée par d'autres conditions plus simples. Remarquons en effet que si l'on prend deux quelconques des p relations données, ces deux relations diminuent nécessairement le rang de F de A unités ; on a donc

(5) [fifj^'-']=o {i,j=i,2,...,p).

Nous allons démontrer que ces "^" — l équations nécessaires sont aussi suffisantes.

Supposons en effet ces conditions remplies et faisons un changement de variables de manière à ramener /j à «j. On aura donc

ce qui montre que, dans la forme *(^) adjointe de F*""*(u), il n'y a pas de terme en [ii^j]- Or la forme adjointe de F*~3 est *î : cela se reconnaît facilement en supposant F réduite à sa forme canonique. Par suite chaque terme de la forme adjointe de F*'~''+', qui est ^J'~^, contient au moins p — i des variables ^p+i, ..., ?n, puisque chaque terme de * contient au moins l'une de ces variables. Chacun des termes de *p~* contient donc au plus p — i des variables ?i, ..., ?p. Par suite la forme adjointe de «ï»^"* contient au moins l'une des variables Hj, ..,, Up. Cela revient à dire qu'on a

[u^u,... apF'~'>+^]=o C.Q.F.D.

L'intérêt du théorème précédent est facile à mettre en évidence. Les formes [/,/y F*~ *] étant de degré n, les équations à écrire sont au nombre

jeKp— 0. tandis que la forme [/j/a .../^ F'-^+*] étant de degré n— p-ha,

le nombre des équations qui expriment qu'elle est nulle est C^"^, et de plus chacune d'elles contient les coefficients de toutes les relations données. Si par exemple on a

F = [uiUi] -+- [M3U4] + [ugUe], Ji = UiUi -+- ... + OeUe, /2 = biUi + ... -h fec«6l fa = Ci«j + ... 4- CgUo,

la condition que F soit de rang 6 — 6 = o en tenant compte des trois relations/j = fz=f^=.o est, par le premier procédé,

ce qui donne

Cl C3 C4

Cfi

Cti

ûl

= Oj