CI2 O
Ot 03 Og
02 Cj Ofi &2 ^5 ^G C2 C5 Cg
Oi
Oj
Ce
Ce
04 Oi O2 1
C; C, Ci I
Au contraire le théorème ci-dessus met les conditions demandées sous la forme beaucoup plus simple
CjOj
OiCj H- c^a,, — 03^^ èjOo 4- 0364 — 6304
CsOfi
OsCe b,a.
68. On peut indiquer un théorème encore plus précis que le précédent et permettant de la manière la plus simple de trouver le rang de la forme à laquelle se réduit F quand on y suppose les variables liées par p relations données. Définissons pour cela la forme bilinéaire alternée
cl>(^, r^z^^^o-^.-^'.par l'égalité
la forme quadratique extérieure
est (à un facteur près) la forme adjointe de , — r-j ; elle est covariante absolue de F en ce sens que si on efTectue sur les variables a,, .... a„ une substitution linéaire quelconque et sur les variables ?,, ..., $„ la substitution linéaire qui conserve ?,u, -h ... H- ?^u,, si enfin par ces deux substitutions les deux formes F(u) et *(?) deviennent respectivement F(u) et *(S), on a encore
s[p-\?,û. -F ... -f- U.) (r.«i + ... -hX^a.)] = mX ) [F']. Si en particulier F a été réduite à sa forme canonique
*("'(^,^',...,^<"'"'*)rF"|
62 LEÇO-NS SUR LES INVAUIAMS INTEGRAUX
on trouve immédiatement pour * la forme canonique
De là résulte facilement Tidentité générale (6) )^^ ^^ -^
où la forme extérieure de degré p correspondant à la forme multilinéaire alternée *('') est égale à ['ï'''(^)] : cette identité est évidente quand F a été réduite à sa forme canonique et est donc vraie dans le cas général. Cela revient au fond à la propriété, invoquée dans le numéro précédent, que la forme adjointe de [F'-''] est, à un facteur scalaire près, égale à [*''].
En faisant en particulier/) = 2, et prenant dans l'identité (6) les termes en [^.^'^^irj'], on obtient
où les coefficients a,, sont définis par
On peut en déduire enfin une autre identité qui nous sera utile plus loin. Considérons la forme
elle est de degré as — 1 ; si on la multiplie extérieurement par une quelconque des variables «1, .... U2». soit M/, on constate immédiatement d'après (7) que le produit est nul. Par suite la forme est elle-même identiquement nulle. Comme ui, uj, U/^ peuvent être remplacées par trois formes linéaires quelconques des variables, nous arrivons au théorème suivant :
Si Von considère des formes linéaires en nombre quelconque fi, J^, ...,fp et si l'on poie
on a les identités
69. Venons maintenant au problème énoncé plus haut, consistant à trouver le rang de la forme à laquelle se réduit F quand on y suppose les variables liées par p relations linéaires indépendantes
Ji = oJ, = o, ...,fp=o.
Nous pouvons supposer que ces relations sont
Uj == o, U2 = o, ..., Hp = o;
il nous sera permis d'effectuer sur les u une substitution linéaire quelconque, sous la seule condition que les p premières variables «i, ..., Up soient échangées entre elles. Il en résulte que nous pourrons effectuer sur les variables ^ une substitution linéaire quelconque, sous la seule condition que les 2S — p dernières variables ^p+[, ..-, Us soient échangées entre elles. Posons alors
[(—riyi "^";] = «0 [f^] (i, / = ^ 2, .... p).
Si dans * on supprime les termes en ^p+t, .,.. Us, on obtient évidemment
(y) Soit aq le rang de la forme * ; on pourra, par une substitution linéaire convenable effectuée sur U, •••, -p, réduire * à
^=[UU]-i-...-^[U,-^U,];
par suite on pourra réduire *, en retranchant au besoin de ?i, .... ?p des combinaisons linéaires de ^p+i, ..-, Us, ce qui est permis, à
* = [UU] -f- ... 4- [Ug-iUg] -+- [U,+ i^p+i] -+-■■• + [^pUp-2g] H- [Up-2q+iUp-iq+i] + ••• -+- [Us—i^is]-
Mais alors la forme F sera ramenée à
F= [«1U2I +...+ [Ugç- lUsç] -+- [«2g+l«p+l] +...+ î«p«2p-2g] + ...-+" ["2«-l«î»]-
On voit que, si Ton tient compte maintenant des relations
u^ = o, U2 = O Up ■= O,
le rang de F est réduit de ip — iq unités.
Nous arrivons donc au théorème suivant :
Considérons les formes linéaires indépendantes /i, Ji, -"^jp^ ^gs
[uantités aij définies par les égalités
et la forme quadratique extérieure à p variables ?i, ..., ^p,
(y) Si cette forme est de rang 2q, le rang de la forme F se réduit de 2p — 2q unités quand on suppose les variables liées par les p relations /, = 0, f, = o. ...,fp = 0.
64 LIÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
De plus si on effectue sur les p formes linéaires données une substitution linéaire telle que 4> se réduise à sa forme canonique
la forme F se réduit à la forme canonique
F=[/iyî]-f--..-f-L/2,-i/2,i-F[/2,+,yp+i]+...+[A/2p 2,]-h...+[/2.-iy2,].
en désignant par f^^^, ..., J^^ de nouvelles formes linéaires convenablement choisies indépendantes entre elles et indépendantes des formes données.
En particulier si g= o. on retrouve le théorème précédemment énoncé et démontré (n° 67).
