Le covariant bilinéaire d'une forme de Pfaff

70. Considérons maintenant une forme différentielle linéaire (forme de Pfaff)

On peut dériver de cette forme une forme bilinéaire alternée à deux séries de différentielles, à savoir

0(0^' — ô'wg r= y^ai[oo'xi — 'î'ôxi) -+- / (âojô'a:,- — 8xj6'a;).

Supposons que les deux symboles de différentiation soient échangeables entre eux, c'est-à-dire que l'on ait

ôô'xj = o'oxi ;

au second membre, qu'on appelle le covariant bilinéaire de la forme lo, on peut faire correspondre une forme différentielle quadratique extérieure que nous écrirons, d'après les conventions faites plus haut,

cette forme sera dite la dérivée extérieure de la forme w.

Ce procédé de dérivation a une signification indépendante du choix des variables ; de plus c'est celui qui fait passer d'une intégrale curviligne étendue à un contour fermé à l'intégrale double étendue à une surface limitée par le contour.

Si par exemple on a trois variables a;, y, z et si on pose

wg = Pôx H- Q^j -{- Ror, E, Cartai». — Leçons sur les Invariants intégraux. 5

et la formule de Stokes s'écrit

66 LEÇOîîS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX

on a

co; = [ôPSrr] + [ôQSj] + [ôHôz] = g [ôxôx] + ^ [ByBx] + g [SzSx] -+. ^ [8a:8j] + ^ [8jSj] + ^ [âz6jj

s désignant une surface limitée par le contour C.

La condition nécessaire et suffisante pour que a>' s'annule est que la forme u) soit une différentielle exacte.

Remarque. — La permutabilité des' deux symboles de différentiation û et S' doit avoir lieu quand les différentiations s'appliquent à une fonction arbitraire y des variables indépendantes, sans quoi l'opération qui vient d'être définie n'aurait pas un caractère covariant. Or c'est ce qu'il est facile de vérifier ; si on pose

(ogest

une

différentielle exacte et on a

c'est-à

-dire