L'action élémentaire

Fi m{x'^ -+■ /« -+- z'^) + Ulcif

semble introduite ici par un pur artifice de calcul afin de pouvoir énoncer sous une forme condensée les lois du mouvement. Nous allons voir qu'on peut substituer au principe d'Hamilton un autre principe équivalent qui fait aussi apparaître une expression linéaire en dx, dy, dz, dt, mais dont tous les coefficients ont une signification mécanique simple.

Revenons en effet à l'action W, mais en supposant maintenant que f^ et t^ sont eux-mêmes des fonctions du paramètre a, les valeurs correspondantes Xq, Jq, Zq, Xi, yi, zi étant' aussi des fonctions de a. Le calcul de oW donne, en appliquant les procédés de dérivation d'une intégrale définie,

m = \-m{x"' + y'^-hz'^)-i-\]] 3i,ri,„(a;'»4-/2+c'^) + Ul ot,

-+- [mx'8x -+- my'8y -j- mz'Bz]^^ — [mx'ox -f- my'oy -+- mz'Sz]j j

^ P' r/ôU d'x\^ /ôU dh\. /dU dh\ . 1 ,.

LE PROGIPE DE LA MOINDRE ACTION d'iIAMILTON y

Remarquons maintenant que l'on a

et par suite

La formule qui donne 8W est donc

6W = mxi'(Sx, — Xi'àti) -h myi'(8yi — j/Sf,) -+■ mzi'{hi — 2/8^1)

Posons

/ (Dg z= mx'(Sx — a;'&t) + my\^y — y'ot) -+- mz\8z — z'^i)

(3) ) H-[im(x'^+/» + z'^) + u]8i

r = mx'àx -+- my'èy + mz'oz — - m(x'^ + j'^ 4- 2'*) — U Si.

L'expression différentielle qui s'introduit ainsi a pour coefficients, d'abord mx', my\ mz', c'est-à-dire les composantes de la quantité de mouvement du mobile, ensuite

c'est-à-dire \ énergie E.

Grâce à cette notation on peut écrire

•vw r 11 f'^ r/ôU d^xX, /ôU dV\. , /ôU d«2\ j -1 ,, oW=M:+ j^^ |(__m^).x+^--m^?jo:,+ (^__m^j 8zJdL

Supposons maintenant qu'on considère une suite de trajectoires réelles dépendant d'un paramètre a et qu'on limite chaque trajectoire dans un intervalle de temps (/q, 't) variable avec a. La formule qui donne la variation de l'action le long de ces trajectoires variables se réduit à

Supposons enfin que nous considérions un tixhe de trajectoires, c'est-à-dire une suite continue linéaire fermée de trajectoires dont chacune est limitée à un intervalle de temps (<o, '1) ; la variation totale de l'action quand on est

?i LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

revenu à la trajectoire initiale est évidemment nulle, de sorte que, en intégrant par rapport à a, on a

3- Pour interpréter le résultat qui vient d'être obtenu, convenons d'appeler état du point matériel l'ensemble de sept quantités

définissant, les trois premières la position du point, les trois suivantes sa vitesse et la dernière l'instant où le point est considéré. On peut regarder un état comme un point d'un espace à sept dimensions, l'espace des étals. Une trajectoire peut être définie comme la suite des états qui correspondent à un môme mouvement réel du point, c'est-à-dire en somme comme une solution du système d'équations différentielles

dx' ôU

"'-dJ=^'

{dT = y'

dy' ôU

m -5- = — ' dt dy

dz' i)U ""-dt^-^'

►'après cela l'intégrale curviligne

1 aig = 1 mx'ôx -+-

iT^y'^y -+- riiz'oz —

étendue à une courbe fermée quelconque de Vespace des élods ne varie pas si l'on déplace d'une manière quelconque chacun des états qui la composent le long de la trajectoire correspondant à cet état.

On peut encore dire qu'étant donné an tube quelconque de trajectoires, l'intégrale I 10^, étendue à une courbe fermée qui fait le tour de ce tube, est indépendante de cette courbe et ne dépend que du tube.

On peut remarquer que l'expression w^ peut être regardée comme le travail élémentaire d'un vecteur de l'univers à quatre dimensions (x, y, z, t) ; ce vecteur aurait pour composantes spatiales les trois composantes ordinaires de la quantité de mouvement et pour composante suivant le temps l'énergie. On peut l'appeler le « tenseur quantité de mouvement- énergie » ; chacune de ses composantes a ainsi une signification mécanique simple. *

4. Si on considère une suite d'états simultanés, c'est-à-dire si on suppose

it = 0, l'intégrale 1 tog se réduit à

m{x'5x -+- y'oy -h z'àz)

LE PRINCIPE DE LA MOI>!DRE ACTION D HAMILTOX i)

en nous plaçant à ce dernier point de vue, nous obtenons le théorème suivant :

Si on considère une suite fermée de trajectoires et si on prend sur ces trajectoires l'état correspondant à un même instant donné t quelconque, Vintégrale

i{x'r,x -h y'Zy + z'oz) étendue à la suite fermée d'états ainsi obtenue est

indépendante de t.

Ce théorème est dû à H. Poincaré qui caractérise la propriété ainsi obtenue en donnant le nom d'invariant intégral à l'intégrale

m{x'5x -+- y'oy + z'oz)