II. — La dérivation extérieure
71. Le môme procédé de dérivation s'applique à une forme différentielle extérieure de degré quelconque. Soit par exemple une forme quadratique
û =^a,j[8xi^Xj] ;
considérons la forme bilinéaire alternée
a(S'^') =^aij(BxiB'xj — èxjo'xi)
qui lui correspond, et induisons trois symboles de différentiation échangeables entre eux o, S', S". Considérons enfin l'expression
qui a évidemment une signification intrinsèque indépendante du choix des variables. On constate facilement, en faisant le calcul, qu''elle se réduit à une expression trilinéaire alternée
Q'(5, S', S*) =^[8aij{8'xi^"xj — è'x/j"Xi) — o'aij{oXi^"xj — èxjo"xi)
-+- o"aii(5xio'xj — 5xpx'i)],
A celte forme trilinéaire correspond maintenant une forme différentielle cubique extérieure
que nous appellerons la forme dérivée de Q.
72. Il est important, dans le cas examiné, de se rendre compte de la relation qu'il y a entre l'opération de dérivation d'une forme quadratique extérieure et l'opération qui consiste à passer d'une intégrale double étendue à une surface fermée à l'intégrale triple étendue au volume limité par la surface.
Imaginons pour cela que Xi, ..., a;„ soient des fonctions de trois paramètres a, [î, Y et considérons dans l'espace à n dimensions un parallélépipède élémentaire dont les arêtes sont des portions de lignes de coordonnées, les sommets A, B, C, D, E, F, G, H de ce parallélépipède correspondant respectivement aux coordonnées curvilignes
(a, ^, y). (a-f-8a, P,y). (='• P + ^'P, T)> (^. ^ Y ^- 2'y), (x-HÔ3:,^-|-o'P,y), (a+oo£,p,Y-i-ô"Y), (û;,S-|-Ô'P,y4-Ô''y). (« +ô 2,^-1-0' (3, y+S'y)- Comme on le voit, les symboles S, S', ô" se rapportent ^respectivement à des différentiations par rapport aux trois paramètres a, p, y-
Considérons maintenant l'intégrale curviligne / / Û étendue à la surface
qui limite ce parallélépipède.
Les intégrales étendues aux trois faces qui partent de A sont, au signe près,
et, pour que ces intégrales soient étendues toutes sur la face interne ou toutes sur la face externe, il faut les prendre égales aux trois expressions précédentes, ou égales et opposées. Si nous les prenons égales et opposées, la somme des intégrales étendues aux six faces sera
— Q(S', S") — Û(S", 0) — £2(0, 5') 4- [Q{o\ ô") + Sû(g', 0")] -h [0(5", 0) + S'Û(5", 5)] + [Û(8, 6') -f- o"û(ô, S')] = oÛ(o', S") -f- o'û(û", S) -+- S"Û(8, 0') = Û'(5, S', ù').
L'intégrale de surface i I O est donc bien transformée en intégrale de
volume I I I û'.
68 LEÇONS SUR LES INVAKIAMS INTÉGRAUX
Dans le cas simple de trois variables, si on pose
Q = P[Sjôz] 4- Q[;^zr:x] + B[Sa;ôj], on a
Q' = [ôPSjôz] 4- [ôQSzêx] 4- [ôRôarSj] = ^^ + ?Q ^ ^^ [Sxôjôz],
73. Ces considérations s'étendraient à des formes extérieures de degré quelconque. Toute forme extérieure admet une forme dérivée dont le degré est supérieur d'une unité et dont le calcul est extrêmement facile, puisque chaque terme de la forme
A[oxfiXj ... ÔX/]
donne naissance au terme dérivé
[^A^oXiOXj ... oxi].
Notons quelques formules utiles et faciles à démontrer. Si m est un coefficient, fonction finie des variables, et Q une forme extérieure quelconque, on a
(mû)' = [dmQ] H- mû'.
Si Q et U sont deux formes différentielles extérieures quelconques, on a
[ûii]' = [û'nj ± [ûir],
le signe -+- se rapportant au cas où Q est de degré pair et le signe — au cas où Q est de degré impair. En particulier si Û est de degré pair, la forme^dérivée de [û^] est donnée par la formule ordinaire
[QP]' z= p[Qi>-*Q'].
74. Nous avons supposé dans ce qui précède que les coefficients des formes considérées étaient des fonctions continues admettant des dérivées partielles du premier ordre. // est cependant des cas où les coefficients d'une forme Q n'admettant pas de dérivées, on peut cependant définir une forme dérivée extérieure û'. Un exemple classique est fourni par la théorie du potentiel.
Considérons un volume matériel Y limité par une surface S ; soit p la densité en un point de V ; nous supposons la fonction p continue. Le potentiel U de cette masse est une fonction continue dans tout l'espace, admettant partout des dérivées du premier ordre continues. 11 existe à l'égard de celle fonction un théorème (théorème de Gauss) traduit par la formule
I I — dydz H dzdx T^ dxdy = l j j — li-odxdydz,
l'intégrale du premier membre étant étendue à une surface fermée quelconque et celle du second membre au volume limité par cette surface. Il résulte de là qu'en posant
û = ~ [dydz] + ^ [dzdx] 4- ^ [dxdy],
on peut définir la dérivée extérieure Q' de Q par
û' = — i-p[dxdydz] .
Si la fonction U adinel des dérivées partielles du second ordre, cela revient à la formule classique de Poisson, car le procédé de dérivation défini ci-dessus donne immédiatement
,.^.vu
~ï) [dxdydz];
mais si la fonction U n'admet pas de dérivées partielles du second ordre, ce qui est le cas général lorsqu'on ne fait pas d'hypothèse supplémentaire sur la fonction p, on peut encore définir la dérivée û'.
On conçoit donc la possibilité de définir la dérivation extérieure comme une opération autonome, indépendante de la dérivation classique. U y aurait lieu alors de démontrer directement la formule du n" précédent
