QUY = [Q'U]±:[QU

où on suppose simplement sur û et fl qu'elles sont dérivables extérieurement.

75. Prenons le cas le plus simple d'une forme linéaire à deux variables ù) = Po.T H- Q5j admettant une dérivée extérieure

Supposons les fonctions P et Q continues et considérons enfin une fonction m admettant des dérivées partielles du premier ordre continues. La formule

(mw)' = mw' ■+- [ômw] revient ici à

fmiP5x + QS^) = jJ(mR + Q '~ - ? ~)ô.:ôj.

La démonstration de celte formule peut se faire assez simplement. Soit A l'aire d'intégration, G le contour qui la limite. Partageons l'aire A en un grand nombre d'aires partielles, par exemple par des parallèles aux axes. Prenons dans chacune des aires partielles un point (cc^, y^) et appelons

'"••'■.• '^- (SI ca

les valeurs des fonctions m, P, Q, — , — en ce point. On pourra poser, à l'intérieur ou sur le contour de cette aire,

70 LEÇOMS SUR LES INVARIANTS INTEGRAUX

l'intégrale / m(P8x 4- Qoy) étendue au contour de cette aire partielle sera égale à

Jm,{P8x + QSj) +J[(a: - x,)[^)^-^ {y - Jo)(^) j(PoS^ + Qo^j)

plus une quantité inférieure à eMA/, en désignant par s une limite supérieure de £i, £2; £3, £4. par M un nombre fixe, par A le diamètre de l'aire et Ha longueur de son contour. La somme de toute? ces quantités supplémentaires peut évidemment être rendue aussi petite qu'on veut, car SA/ est de l'ordre de l'aire totale A. Quant à la somme des deux intégrales écrites plus haut, elle est égale à

On en déduit facilement la démonstration de la formule en question.

Cette démonstration s'étendrait avec des hypothèses analogues au cas d'une forme quadratique

Q = P[8jSz] -h Q[8z8x] -h R[Sxôj] ;

l'existence de l'égalité

1 I PôjSz + QBzBx -+■ Rôa;Sj = | 1 | l{8xoyc,z entraîne

jCm{P8yBz-hQ5z^x-i-R5xBy)= CÇj /mHH-P^+Q^+R^)Sx8j8z.

La démonstration semble plus difficile dans le cas de deux formes linéaires à trois variables

w = ASx -+- BBy H- Côz, Wi = A'ôœ H- B'oj -+- G'oz.

Supposons que ces deux formes soient dérivables et qu'on ait par exemple

I kox -+- B8j H- G5z = I I PojSz -h Qozox -j- Roxoy,

I k'8x -h B'ôj -f- G'Sz = I i P'ôjoz H- Q'ozox -f- Woxoy ; la formule (i) deviendrait ici

(BC — CB')SjSz H- (GA' — kC')oz5x -1- (AB' — Bkyxoy

= /TApA' + QB' + RG' — P'A — Q'B — R'G)Sa:8jôz. Elle ne semble pas pouvoir se démontrer par le même procédé que dans

LES FORMES DIFFÉRE?iTIELLES ELTERIEURES ET LEURS FORMES DÉRÏVKES 7I

les cas précédents, à moins d'ajouter des hypothèses supplémentaires, par exemple que les fonctions A, B, C, A', B', C satisfont à une condition analogue à celle de Lipschilz. Il y aurait intérêt à étudier cette question et à voir si réellement la dérivabililé d'un produit extérieur résulte toujours de la dérivabiliié de ses facteurs.

Quant à la question de savoir à quelles conditions une forme différentielle extérieure est dérivable,'elle se lie, du moins pour les formes de degré n — i à n variables, à la théorie des fonctions additives d'ensemble de M. G. de la Vallée-Poussin (*). La forme Q = P[ôjSz] ■+■ Q[ôzSx] H- R[ôa;oj] par exemple

est dérivable si la somme des intégrales 1 j Q étendues aux surfaces qui

limitent un nombre fini de cubes formés de plans parallèles aux plans de coordonnées tend vers] zéro quand la somme des volumes de ces cubes tend vers zéro ; la fonction H qui entre dans l'expression de la dérivée

û' :::= H[5a;ôj'ôz]

n'est naturellement pas continue en général.

Dans ce qui suit, nous admettrons toujours la légitimité des opérations effectuées.