Voici maintenant un théorème important
La dérivée de la dérivée Q' d'une forme différentielle extérieure quelconque Û €st identiquement nulle.
Prenons en effet dans Q un terme quelconque, soit
a[àxiOXi ... ciXp] ;
le terme correspondant de Q' est
[àaoxioxi ... àxp].
Si a ne dépend que de Xi, ..., Xp, ce dernier terme est nul, et sa dérivée aussi ; si au contraire a est indépendant de x^, ..., Xp, on peut faire un changement de variables tel que a devienne égal à x^^ i ; la dérivée du terme
[ôXp^.iôXi6x2 ... SXp]
est alors nulle, puisque le coefficient de ce terme étant l'unité, sa dérivation ne donnera rien dans la formation de la dérivée extérieure.
Ce théorèrhe admet une réciproque, à savoir :
Si la dérivée d'une forme différentielle Q est nulle, la forme Q peut être regardée comme la dérivée d'une forme II dont le degré est inférieur d'une unité à celui deQ.
(♦) Voir l'ouvrage intitulé : Intégrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Bairi; Parii, Gauthier- Villars, 191 6.
Nous nous appuierons, pour démontrer ce théorème, sur le lemme suivant, qui nous sera du reste utile plus loin :
Si la dérivée d'une forme Q est nulle et si celte forme ne contient pas la différentielle 8j:„, ses coefficients sont tous indépendants de x„.
Prenons en effet dans Q un terme tel que
Aiôxifia-2 ... 8xp\ il fournira dans la dérivation le terme
[ôASxjoa^j .. oXy] d'où, en développant, plusieurs termes dont l'un sera
ôA , , , ^
dXn '■»»'' P. '
ce dernier terme ne peut manifestement se réduire'Javec aucun autre, puisqu'aucun terme de Q ne contient ox^. Comme û' = o, on a nécessairement
ôA
Le lemme étant ainsi démontré, revenons à notre théorème. Appelons Q, ce que devient û quand on y fait a;„ = x" et 0x^ = 0. La dérivée de Qq est manifestement nulle si celle de Q l'est. Supposons alors le théorème démontré pour n — 1 variables : il sera possible de trouver une forme 11^ construite avec les variables Xi, ..., x„i et dont Oq soit la dérivée :
11/ = Qo.
Cela étant, mettons à part dans la forme donnée Q et dans la forme inconnue n les termes qui ne contiennent pas ox^ et ceux qui le contiennent ; on pourra écrire
Û = Cl 4- [àx,Sii], n = ni H- [ôar^Dal ;
si nous calculons dans n' les termes qui contiennent Ôa;„, nous trouvons
Choisissons la forme lia arbitrairement et déterminons n, par les conditions i'' que pour x„ = x', III se réduise à n^ ; 2° que l'on ait
on obtient ainsi 111 par des quadratures.
La forme n étant choisie comme il vient d'être dit, elle jouit des propriétés suivantes ; /
1° la différence n' — Q, quand on a réduit les termes semblables, ne contient plus oxn ;
2° elle se réduit à zéro quand on fait dans ses coefficients Xn = x^i.
Remarquons maintenant que la dérivée de cette forme est nulle et que par
suite, d'après le lemme. tous ses coefficients ont une valeur indépendante de x„; elle est donc identiquement nulle et le théorème est démontré.
La démonstration même montre que dans la forme II on peut choisir arbitrairement les termes qui contiennent ox„, choisir arbitrairement les valeurs pour x,i = a-" des termes qui ne contiennent pas ox„, mais contiennent Ôa:„, î choisir arbitrairement les valeurs pour x„ = x^, x„i = a;,1 i, des termes qui ne contiennent ni ox„ ni ox„,, mais contiennent ôx„2, et ainsi de suite.
11 est bien clair du reste que si l'on a une solution du problème, toutes les autres s'en déduiront en ajoutant à II la dérivée d'une forme arbitraire (de degré inférieur de deux unités à celui de û).
77. Si 12 est une forme linéaire, l'hypothèse que sa dérivée extérieure est nulle conduit donc, d'après le théorème précédent, à la conclusion déjà signalée que Q est une différentielle exacte. Si Q est une forme quadratique à trois variables
Q = P^ojoi ' ■+- Q[ozox] -+- Rïoxoy'}. la condition.
dP ôQ ôR
dxi dy dz
est nécessaire et suffisante pour que Q puisse être regardée comme la dérivée d'une forme linéaire, c'est-à-dire pour qu'on puisse trouver trois fonctions A, B, G satisfaisant à
flC ôB ^ p
ày dz
ôA ôC Q
dz dx
ôB ôA D
dx by
Remarque. — Si les coefficients de la forme Q sont uniformes dans un certain domaine, la condition Q' =r o n'est pas toujours suffisante pour assurer l'existence d'une forme II uniforme dans ce domaine et dont Q soit la dérivée extérieure. Considérons par exemple le domaine (fermé et sans frontières) à deux dimensions formé par les points d'une sphère S, et soit Q une forme de degré 2 uniforme dans ce domaine (et à coefficients admettant des dérivées partielles du premier ordre continues). La dérivée Q' est manifestement nulle. Néanmoins s'il existait une forme w linéaire dont la dérivée lo' fût
égale à Q, on aurait, en intégrant deux fois / co le long d'un même grand
cercle de la sphère dans deux sens différents,
l'intégrale étant étendue à toute la surface de la sphère. L'équation précédente donne une condition supplémentaire pour que Q puisse être regardée comme dérivée exacte d'une forme w uniforme sur toute la sphère.
