D'UNE FORME DIFFÉRENTIELLE EXTÉRIEURE

FORMATION DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

I. — Le système caractéristique d'une forme différentielle extérieure.

78. Les résultats du Chapitre précédent nous permettent de former facilement le système de Pfaff caractéristique d'une forme différentielle extérieure donnée û.

Remarquons pour cela que si Q est invariante pour le système d'équations différentielles , , ■ d^i dxz __ dxn

O pourra s'exprimer au moyen de n — i intégrales premières indépendantes y il •••) J«-i 6t <i6 leurs différentielles; ii7 en sera par suite de même de sa dérivée Q\ Par conséquent le système d'équations (aux différentielles totales) linéaires associé aux deux formes extérieures Q et Q' sera une conséquence des équations

(2) dy^~o, ..., dyr^i =0.

et par suite des équations (i).

Autrement dit, pour que le système (1) admette û(8) comme forme invariante, il faut que le système associé de Q et de Q' soit vérifié quand on y remplace les variables ^Xi, .,., ox„ par X], .,., Xn.

Réciproquement supposons cette condition réalisée. Le système associé de Q(d) étant vérifié en tenant compte des équations (1) le sera en tenant compte des équations équivalentes (2) ; donc û(d), considérée comme forme extérieure des quantités dxi, pourra s'exprimer uniquement au moyen de dyi, .... dyn-i, les coefficients étant des fonctions des a", qu'on pourra toujours

FORMATION DES INVAR1\KTS INTÉGRAUX 7 5

supposer exprimées au moyen de j,, .... j„, et x„ (si X„ ^if o). On aura donc

En formant Q', on trouve que le seul terme en [dx^ dy- dy^ ] a pour coemcient — ^^^^ ; or par hypothèse 0' doit aussi pouvoir s'exprimer au moyen des seules quantités dj; ; on a donc

par suite û s'exprime au moyen des intégrales premières du système donné et de leurs différentielles : c'est donc une forme invariante.

Il résulte immédiatement de là que les équations du système caractéristique de Q se réduisent aux équations du système associé de Q jointes aux équations du système associé de û'.