Examinons quelques cas particuliers importants
Supposons que Q soit une dérivée exacte, c'est-à-dire û' = o. Dans ce cas le système caractéristique de la forme différentielle Q se confond avec le système associé de la forme Q.
Cherchons comme application le système caractéristique d'un invariant
intégral (complet) relatij 1 Q. Cet invariant relatif se ramène à l'invariant
absolu / û'; or Q' est une dérivée exacte. Donc le système caractéristique d'un
invariant intégral relatif j Q se confond avec le système associé de la forme dérivée Q'.
C'est ce qui se passe pour l'invariant intégral linéaire de là Dynamique
/ los = 1 ^Pioqt — Ilot.
On a ici
Le système associé de la forme w' est
d(o' dw' ôw'
c'est-à-dire, en prenant le symbole d au lieu de o, — dpi dl = o,
'Mi
doi dl == o,
^ àpi
dn-^dt=--o:
dt
c''esl le calcul même que nous avons fait dans le Chapitre I (n° 11).
•j6 LEÇONS SUR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
Ici la forme dlfférenlielle w' est quadratique ; nous savons par suite d'avance que le nombre des équations indépendantes du système associé est pair : c'est ce qui explique que les 2n. ■+■ i équations du système caractéristique se réduisent à 2/1. Nous avons de même l'explication de ce qui se passe en Hydrodynamique à propos de la forme invariante
?"5j'Sz]+T([32Ôa;]-l-Çioa;ôjj4-(ifiiy— Çi;)[oa;S<] + (Çu — ^w)[8yot]-h (^v — t,«)[Ô2Ô<1.
Ici n r= 4 ; le système caractéristique contient donc 4 ou 2 ou o équations indépendantes : or ce ne peut pas être 4 puisque la forme est invariante pour les équations différentielles des trajectoires des molécules : donc c'est 2 ou o. C'est o si ^ = Tj = Ç = o, c'est-à-dire si le mouvement est irrolationnel. Dans le cas contraire on pouvait prévoir a priori que les trajectoires ne seraient pas les seules courbes caractéristiques de la forme, j
80. Un dernier cas important est celui où la forme Q est de degré n — i. Si elle est invariante pour un système d'équations différentielles, ce système est nécessairement unique, car le système de Pfaff associé de Q est formé de n — I équations indépendantes. Pour que le système associé de Q' ne contienne pas plus de n — i équations indépendantes, il faut évidemment que Q' soit nul. Par suite pour quane forme Q de degré n — i paisse être invariante pour un système d'équations différentielles, il faut et il suffit que sa dérivée soit identiquement nulle.
Un exemple simple est fourni par l'invariant intégral de la Cinématique des milieux continus
p{5x — ur:t){oy — vot){5z — W^A).
La forme Q est ici
Q = p[Bx8yoz] — pu[Sjôz5i] — pu[S2oa;ô<] — pw[ox8yot].
La condition Q' =: o donne
rôp à(pu) d(pv) à(pw)'].^,^ - ^ T
Idt <)x dy 02 JL - -■ '
c'est la condition de continuité, ou la loi de conservation de la matière
ôp d(pu) ô(pu) a(puO ^ ^ dt dx dy dz
On voit que cette loi de conservation de la matière se traduit par la condition simple que la dérivée Q' de la forme qui définit la quantité de matière élémentaire soit nulle.
SI. Les lois de conservation en Physique se traduisent souvent par des conditions analogues. La loi de conservation du flux de force pour un champ de forces X, Y, Z se traduit par la condition que la divergence de ce champ de force soit nulle, c'est-à-dire
ôX ôY ôZ
i)x dy dz
FORMATION DES INVARIANTS INTEGRAUX nn
or ceci exprime simplement que la dérivée du flux de force élémentaire
Q == X[ô/02l -\- Y[û2oj;] -f- 7u{rlxoy] est nulle.
Tout champ magnétique (statique) satisfait à celte condition. Le champ électromagnétique, défini au moyen de la forme extérieure
satisfait aussi à la condition que û' est nul. On a
ôH, dH„ ôH,\ , , /ôH^. 0E3 ôE,A,, , , ,
^ /dHy , ôE^ ôEA,. . , , , /ôHï ôE,, ôE,\-, . .,, \Zit Ô2 ôx-y^ ^ \ ôi àx dy J^ ' -■
En annulant les quatre coefficients de il' on obtient les quatre équations classiques, qu'on peut écrire, en notations vectorielles,
div II = o, ^ H- curl E = o.
La forme de l'Hydrodynamique déjà si souvent considérée
û==$[ojoz]4-7j[Ô2Ôx]+C[5xoj]+(r,iy— Cu)[Sxo/;+(Cu— ^$w)[ûj5<]h-(£u— T,u)[ôzc/j
ayant aussi sa dérivée nulle, puisque Q est la dérivée de la forme linéaire « quantité de mouvement-énergie », les vecteurs (^, r^, Ç) et {r^w — Çu, Cm — iv, iv — Tju) satisfont aux mêmes relations que le champ magnétique et le champ électrique ; ces deux vecteurs sont l'un le tourbillon, qui joue le rôle de la force magnétique, l'autre le produit vectoriel du tourbillon et de la vitesse qui joue le rôle de la force électrique.
Il est à remarquer que le champ électromagnétique (ou plutôt la forme Û qui le représente) ne peut être invariant pour aucun système déquations diflerentielles, puisque [û^] n'est pas nul en général. Il n'y aurait d'exception que si le champ magnétique était perpendiculaire au champ électrique ; le système caractéristique serait alors défini par les équations
UJy — liydz -h E^dt = o,
ï{,dz — ILdx -+• Eydl = o,
Uydx — RJy 4- E,dt = o.
— Exdx — Eydy — E-dz = o,
qui se réduisent à trois. L'un des systèmes d'équations différentielles qui admettent Q comme forme invariante serait alors
dx dy dz dt .
îC""h; — ir: — ô'
il définit à chaque instant les lignes de force du champ magnétique ; un autre
est
dx dy dz dt
E,IL. — E.H, ~ ËTTL — E.in ~ EJl, — E,1L "■ lll -+- HJ -h Hl*
Si le champ magnétique était nul, les variétés caractéristiques seraient définies par les équations
dt=zo, EJx -+- Eydy -h E,dz — o ;
ce seraient les surfaces équipotenliclles considérées à chaque instant t.
