II. — Formation des invariants intégraux
82. 11 est évident que le produit extérieur de deux formes extérieures invariantes est aussi une forme invariante.
D'après cela la connaissance d'une forme extérieure invariante Q entraîne la connaissance de toute une série d'autres formes invariantes, à savoir Q' et toutes les formes déduites par multiplication extérieure de Q et de û'.
Supposons d'abord que 0 soit une forme invariante absolue de degré pair : on a alors les deux séries de formes invariantes absolues
[QP], [QV-^Q'] (p=i,2,...);
la dérivée d'une forme de la première série est une forme de la seconde série, la dérivée d'une forme de la seconde série est nulle.
Supposons en second lieu 0 forme invariante absolue de degré impair : on a les deux séries
[û'i'j, [QQ'P-^], (p=: 1,2, ...);
la dérivée d'une forme de la première série est nulle ; la dérivée d'une forme de la seconde série est égale à une forme de la première s'rie.
Supposons maintenant qu'on ait un invariant intégral relatif l Q et supposons d'abord Q de degré pair ; on ne peut en déduire qu'un invariant nouveau, l'invariant absolu 1 £2',
Si au contraire Q est de degré impair, on a une série d'invariants intégraux relatifs | QQ'p-'^ et une série d'invariants intégraux absolus / Q'p. Du reste l'invariant relatif / £}û'''~i se ramène par dérivation à l'invariant absolu / Q'''.
11 en est ainsi par exemple de l'invariant relatif de la Dynamique
les invariants intégraux relatifs qu'on en déduit sont I 0)0) '^~' Çp = i, .,., n) ; les invariants intégraux absolus sont
FORMATION DES INVARIANTS INTÉGRAUX 79
II existe donc un invariant (relatif ou absolu) d'un degré donné quelconque inférieur ou égal à 2«.
83. Il ne faudrait pas croire que les invariants nouveaux dont nous venons de signaler Texislence soient toujours les seuls qui puissent se déduire (sans intégration) d'un invariant donné. Supposons par exemple qu'on connaisse une forme invariante Q réductible à la forme
Q = [tOitojU)3j 4- [w^WsWe],
où w,,œ^, ..., wg sont six formes linéaires (de Pfaff) indépendantes. Introduisons six indéterminées ^i, ..., $u et considérons la forme quadratique auxiliaire
00)^ 00)2 ÔWg
Il est évident que si on regarde les $ comme des quantités covariantes aux w, la forme II est covariante de Q. Exprimons que cette forme est de rang 2; nous obtenons les conditions
UoL = 0, (i = 1, 2, 3 ; a = 4, 5, 6) ;
il y a deux solutions possibles fournies, soit par
?i = ^2 = ^3 = o, soit par
Il résulte de là l'existence de deux systèmes de trois équations de Pfaff covariantes, à savoir
101 = 102 = ^3== O, 0)4 = 0):; = COg =: O,
Par suite encore la forme [wjWaWjl et la forme [wito^w^] sont elles aussi covariantes : la première s'obtient en tenant compte dans û des équations du second système covariant ; la deuxième en tenant compte des équations du premier système covariant.
Or supposons Q exprimée au moyen des intégrales première du système d'équations dont Q est forme invariante ainsi que de leurs différentielles. La formation des deux systèmes de Pfaff covariants se fera aussi bien que pour la forme réduite et chacun d'eux ne contiendra que les intégrales premières et leurs différentielles : il en sera de même des deux formes [wjWaWg] et [^>i^^Jù^ui^], qui sont par suite des formes invariantes.
L'existence de Vinvariant intégral j û entraîne donc Vexislence de chacun des
invariants intégraux i wiWjWa, j lo^w^wg.
On verrait par un raisonnement analogue que l'existence d'une forme invariante de degré p > 2 réductible à une somme de h termes monômes tels que les
8o LEÇONS SIR LES INVARIANTS INTÉGRAUX
hp fadeurs qui entrent dans ces termes soient linéairement indépendants entraîne la propriété de chacun des termes monômes d'être une forme invariante. Le ihcorème n'est pas vrai si /) = 2.
84. Dans certains cas l'existence d'une forme invariante entraine l'exislence d'une équation invariante. Considérons par exemple la forme
où wj, ..,, W5 désignent cinq formes de Pfaff indépendantes. La seule relation linéaire entre ces formes qui annule Q est évidemment
cette dernière équation est donc invariante : elle peut s'exprimer au moyen des intégrales premières des équations différentielles pour lesquelles Q est une forme invariante.
D'une manière générale si Q est une forme invariante et si le système associé de û ne se confond pas avec son système caractéristique, ce système associé est un système de Pfaff invariant.
On pourrait varier ces considérations de bien des manières.
85. Prenons encore le cas de deux formes invariantes quadratiques Qi et ^2 ayant le même système associé ; soit as leur rang commnn. L'équation de degré s en X
[(û, iQ,y] = o,
qui exprime que le rang de la forme ûj — iQ^ est inférieur à 2s, a évidemment une signification invariante. Les racines de l'équation en X sont donc des intégrales premières des équations difjférentielles qui admettent Qi et Q^ comme intégrales premières. On peut démontrer que, dans le cas général, ûj et 2» sont réductibles aux formes
Ûi = Xi[a)iC02] + X,[w3W.i] H- ... 4- X,[a)2s-iW2j, Qz = [W1CO2] 4- [W3W4] H- ... H- [was-iWo*]. Chacune des formes monômes [wiWa], [^3104], ..., [a)2,iO)2,] est invariante.
