I. — La notion de transformation infinitésimale

85. Uhe transformation à n variables est définie par un système d'équations

(i) Xi' =fi{Xi, ...,x„) {i=i,...,n)

résolubles par rapport à a-j, ..., ic„. Géométriquement, si dans l'espace à n dimensions on regarde Xj, ..., aî„ comme les coordonnées d'un point M, la transformation (i) fait passer, suivant une loi déterminée, d'un point quelconque M de l'espace à un autre point M'. Les transformations sont d'un usage courant en Géométrie (homotliétie, similitude, inversion, ou, plus simplement encore, rotation, translation, etc.).

La transformation (i) est dite identique lorsque les seconds membres se réduisent respectivement à x^ x„; tout point est alors transformé en luimême.

Etant donné un système d'équations différentielles

-. , dxi dX'y dxn

ce système est dit admettre la transformation (i) lorsque cette transformation, appliquée aux différents points d'une courbe intégrale quelconque de (2), donne des points appartenant tous à une même nouvelle courbe intégrale.

Considérons une transformation dépendant d'un paramètre a et se réduisant, pour une certaine valeur numérique Oq de ce paramètre, à la transformation identique. Posons a — a^ = e et supposons que les seconds membres soient développables suivant les puissances de £

Xi' = Xi-^ B^Xi, ..., Xn) -h ...

On aura ce qu'on appelle une transformation infinitésimale en ne portant E. Carta», — Leçons sur les Invariants intégraux. 6

son attention que sur les termes du premier ordre en e. Une transformation infinitésimale est donc complètement définie par n fonctions ^j de aci, .... ar„ ; on obtient la même transformation infinitésimale en multipliant toutes ces fonctions par un même facteur constant. Nous dirons que la fonction ^, représente l'accroissement de la variable Xi par la transformation infinitésimale (en réalité l'accroissement est e^i, mais le coefficient e ne joue qu'un rôle accessoire).

Etant donnée une fonction /(a: i, .... x^), l'accroissement que la transformation infinitésimale fait subir à cette fonction est, au facteur e près, le premier terme du développement de

f{xi'....yXn')—f{xi x„)=:/(xi+e$i, . ., œ„ + £i„) — /(x, x„);

c'est donc