I- àf f df > àf

* dXi '^ ÔCCa dXn

nous désignerons cette expression par le symbole A/ :

nous conviendrons de dire que kf est le symbole de la transformation infinitésimale considérée.

86. La formule (3) est analogue à celle qui donne la différentielle totale d'une fonction/ :

3/ = ox, — + oa?j -^^ H- . . . -h oa;„ -^ •

•' ' ÔX, dXj ÔX„

La seule différence est que S est le symbole d'une opération indéterminée, tandis que A est le symbole d'une opération déterminée. Le symbole de la dilTérentiation devient le symbole d'une transformation infinitésimale dès qu'on donne à cxi, .. , ôx„ des valeurs déterminées (fondions données des variables).

L'opération symbolisée par A est susceptible de s'appliquer non seulement aux fonctions finies, mais encore aux formes différentielles. Nous entendrons par exemple par A(dxi) la partie principale (divisée par e) de l'accroissement de dxi. Or Ton a

dxi' — dXi =r gd^i -h ... ;

on est donc conduit à poser

k{dXi) = d^i = d(kXi).

On voit par là que ["opération A doit être considérée comme échangeable avec r opération de différentiation (indéterminée).

87. Revenons au système d'équations différentielles (2). Ce système sera dit admettre la transformation infinitésimale (3) si cette transformation, appliquée aux différents points d'une courbe intégrale quelconque, donne des

points tous situés, aux infininiment petits près du second ordre, sur une même nouvelle courbe intégrale.

Il est bien évident que si les équations (2) admettent une transformation dépendant d'un paramètre a, et cela quelle que soit la valeur numérique de ce paramètre, elles admettront la transformation inQnitésimale qui correspond à des valeurs de a infiniment voisines de la valeur a^ (si elle existe) qui fournit la transformation identique.

Si y est une intégrale première des équations (2) et si ce» équations (2) admettent la transformation infinitésimale A./, il est clair que A(j) sera encore une intégrale première. En effet en tout point M d'une courbe intégrale quelconque (G), y garde une même valeur numérique c ; au point M' transformé de M, la fonction y augmente de £A(j) : cette augmentation doit être la même, quel que soit le point M de (G) ; il faut donc que A(j) ait la même valeur numérique en tous les points de (C) ; autrement dit A(j) est une intégrale première.

Réciproquement si l'opération A, appliquée à une intégrale première quelconque, donne encore une intégrale première, le système (2) admet la transformation infinitésimale A/. Si en effet

Ct> Cï, •••« Cn-l

sont les valeurs numériques constante» que prennent n — i intégrales premières indépendantes

aux différents points M d'une courbe intégrale (C), les valeurs que prennent ces intégrales aux points transformés M' sont celles que prennent aux points M eux-mêmes les fonctions

7, + £A(yO, Ji. 4- eA(j2), ..., ;y„-i H- eAfj^,);

ce sont donc des constantes. Par suite les points M' engendrent bien une courbe intégrale.

II. — Formation d'invariants intégraux en partant de transformations infinitésimales.

88. La propriété précédente nous montre que la connaissance d'une transformation infinitésimale Af admise par les équations différentielles (2) permet de déduire de toute forme différentielle invariante û une autre forme invariante, à savoir A(û). Si la forme Q est extérieure, il en est de même de la forme A(û), et la nouvelle forme a le même degré que l'ancienne.

Il existe une seconde opération permettant de déduire de la forme extérieure invariante O une autre forme invariante. Supposons, pour fixer les idées, û du troisième degré et considérons la forme différentielle trilinéaire correspondante û(ô, 5', ô"). Remplaçons dans cette forme le symbole de

différentiation indéterminée ô par le symbole de la transformation infinitésimale ; nous obtenons une forme linéaire alternée f2(A., ô', o") à deux séries de différentielles S', S", à laquelle correspond enfin une forme quadratique extérieure, que nous désignerons par Û(A, ô). Cette nouvelle forme se déduit de la première par une opération qui a un sens indépendant du choix des variables. Si Q est exprimée au moyen des intégra'es premières jj des équations (3) et de leurs différentielles, l'expression Q(A, 8) s'exprime aussi au moyen des jj et des Sjj. Par conséquent Vopération qui vient d'être définie permet de déduire de toute forme invariante une autre forme invariante dont le degré est diminué d'une unité.

On a du reste

89. Les deux nouvelles opérations qui viennent d'ôlre définies ne sont pas indépendantes entre elles. Supposons, pour fixer les idées, que Q soit du second degré et reprenons la formule de définition de la dérivée extérieure 0'. On a (n" 71)

Q'(p, â', 8") = SQ(S', S") — S'Q(S, 8") H- 6"0(o, a'),

à la seule condition que les trois symboles 8, 8', 0" soient échangeables entre eux. Remplaçons le symbole 0 par celui de la transformalion infinitésimale A/. Nous aurons

c'est-à-dire, en repassant aux formes extérieures,

ti'(A, 6) = A(Q(S)) — [û(A, 8)]', ou enfin

Celle formule fondamentale contient au premier membre le résultat de la première opération effectuée sur Q. Quant aux deux termes du second membre, le premier s'obtient en appliquant à Q, d'aboi'd l'opération de la dérivation extérieure, ensuite la seconde opération associée à A/; quant au second terme il se déduit de Q par les mêmes opérations, mais effectuées dans l'ordre inverse.

En définitive la connaissance d'une transformation infinitésimale A/ qu'admettent les équations (2) nous met en possession d'une opération essentiellement nouvelle, définie par la formule (4), permettant de déduire d'une forme invariante Q{o) une nouvelle forme invariante û(A, 0).

Nous pouvons remarquer en particulier que si j est une intégrale premièi-e, l'intégrale première A(j) peut être obtenue, d'abord par dilFérentialion, ce qui donne 10(8) = 8y, puis par application de l'opération (^), ce qui donne

co(A) = A(j).