III. — Exemples

90. Considérons un milieu matériel continu en mouvement, la densité étant p et les composantes de la vitesse u, v, w. Les équations diflérentielle» du mouvement d'une molécule

dx dy dz

admettent, comme nous l'avons vu (n" 37), l'invariant intégral

p(8a;8jSz — u8j8z8« — v8zBxBt — wSx8y8t)

fff'

qui correspond à la forme invariante

Q = p[8xiy^z] — pu[8j8z8f] — pu[8z8a;8<] — piy[8aî8j8<].

Supposons le mouvement permanent, c'est-à-dire p, u, v, w indépendants de t. Les équations (6) ne contenant pas le temps explicitement, c'est-à-dire ne changeant pas quand on change f en < + e, admettent la transformation infinitésimale

Par suite elles admettent la forme invariante

Q(A, 8) == -^ = — pu[Sj8z] — pv[8zBx] — pw[8x8y].

La propriété de cette forme d'être invariante est évidente physiquement. Considérons en effet un tube de trajectoires et coupons ce tube par deux surfaces quelconques, qui déterminent à l'intérieur du tube deux aires S et S'. La quantité de matière qui remplit le volume situé entre la surface latérale du tube et les deux surfaces S et S' est toujours la même, par suite le flux algébrique de matière à travers la surface qui limite ce volume est nul. Or le flux à travers la surface latérale est nul. On a donc

I I p("Sy8z + v^zlx H- wox8y) = | | p(u8j8z -f- u828a; -h w8xhy).

Remarquons que la forme invariante û(A, 6) est une dérivée exacte ; sa dérivée en effet, si elle n'était pas nulle, ne pourrait différer de û que par un facteur fini ; or cette dérivée ne contient pas ot ; on a donc

Le système caractéristique de û(A, 8) se réduit par suite à son système associé ; il est donné par les équations

dx dy dz.

il définît les trajectoires des molécules, mais indépendamment de la manière dont ces trajectoires sont parcourues avec le temps.

La formule (5) montre aussi la propriété de la forme û(A, ô) d'avoir sa dérivée nulle ; en effet ici la forme Û' est identiquement nulle. D'autre part, Û, ne contenant pas t explicitement, ne change pas quant on change / en t -+- e, par suite A(û) est nulle. Cette remarque s'appliquera aux exemples suivants.

91. Considérons maintenant un fluide parfait en mouvement sous l'action de forces dérivant d'un potentiel. Nous avons vu (n» 22) l'existence d'une forme invariante absolue

u)' = k[^yBz] -+- ■»i[SzSa:] ■+■ Z[8x8y] -+■ (riiv — Çu) [oxSfl

H- (Ça — ^w) [Ôj8«] -h {iv — rju) [Bz8t]; elle provenait de la dérivation extérieure d'une forme linéaire

u) = uBx -h uSj -+• iu5z — Eôf, où le coefficient E, énergie par unité de masse, avait pour expression

Supposons le mouvement permanent, c'est-à'dire u, v, w, p, p indépendants de t. On aura, là encore, une nouvelle forme invariante

a)'(A, 8) = -^ = (uÇ — wii)^x -h (u;ç — uÇ)8j + (aifj — v^)Sz

Sx 8y 8z u V w

$ -n ç En partant de l'expression

0)' = [S«8a:] -4- [8vBy] -+■ [SwSz] •— [8Eo<], on trouve d'autre part

co'(A. S) = SE.

Par suite E est une intégrale première des équations du mouvement : nous retrouvons le théorème de Bernoulli d'après lequel, dans un fluide parfait en mouvement permanent, la quantité

reste constante le long de chaque filet fluide.

Mais la forme 8E n'est pas seulement invariante pour les équations différentielles du mouvement des molécules fluides : elle l'est aussi pour les équations différentielles des lignes de tourbillon qui admettent aussi la forme invariante w' ; par suite la quantité E reste constante non seulement le long de chaque Jîlet fluide, mais aussi le long de chaque ligne de tourbillon.

Si le mouvement est irrotationnel, la forme w'(A, 8), telle qu'elle a d'abord été écrite, est évidemment identiquement nulle : dans ce cas l'énergie est constante dans toute la masse fluide et à tout instant.

L'égalité

Sx Sj 82 SE == u V w

permet de représenter en chaque point M la variation (spatiale) d'énergie au moyen d'un vecteur MH ayant pour origine ce point et qui serait le produit vectoriel du vecteur vitesse (u, v, w) et du vecteur tourbillon ($, t), Ç) ; la dérivée de l'énergie suivant une direction donnée serait égale à la projection du vecteur MH sur cette direction.

92. Une autre application très générale est relative au problème de la Dynamique, lorsque les liaisons et les forces données sont indépendantes du

temps. La transformation infinitésimale kj= ^ qu'admettent les équations

du mouvement permet de déduire de l'invariant intégral fondamental de la Dynamique

/Ta>'= /r^^iSg^ — 6H8< le nouvel invariant intégral