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étendue à un contour fermé.

Dans cette conception de Poincaré, la notion d'énergie n'intervient pas ; elle apparaît nécessairement si, au lieu de considérer une suite fermée d'états simultanés, on considère une suite fermée d'états quelconques,

dirons que l'intégrale I wg du tenseur « quantité, de mouvementénergie » est un invariant intégral complet, — ou plus simplement invariant intégral, quand aucune confusion ne sera à craindre — pour les équations dilïérentielles du mouvement. L'invariant intégral de Poincaré est donc l'invariant intégral complet du tenseur « quantité de mouvement-énergie » envisagé sous un aspect particulier.

Il est remarquable que si, au lieu de considérer une suite d'états simultanés, on considère une suite d'états satisfaisant aux relations

ûx = x'ot, èy = y'8t, ùz = z'ot, le tenseur ws se réduit à l'action élémentaire d'Hamilton

fi ,n{x'^ -h /2 -+- 2'2) 4- Uls/.

Par suite l'invariant intégral de H. Poincaré et l'action d'Hamilton sont deux aspects différents de l'intégrale de la « quantité de mouvement-énergie », bien qu'à première vue il n'y ait aucun rapport entre ces deux notions.

5. Dans ce qui précède nous avons simplement déduit du principe d'Hamilton une propriété du tenseur « quantité de mouvement-énergie », à savoir que l'intégrale de ce tenseur le long d'une ligne fermée d'états ne change pas quand on déforme celte ligne fermée sans changer les trajectoires sur lesquelles elle s'appuie. Nous allons démontrer maintenant que celte propriété peut remplacer le principe d'Hamilton, c'est-à-dire que les équations différentielles du mouvement sont les seules qui admettent comme invariant intégral l'intégrale I wg étendue à un contour fermé quelconque.

Soit en effet

dx dy dz dx' dy' dz' dt

tour

où les dénominateurs sont des fonctions déterminées des sept variables X, y, z, x' y y\ z', t, un système quelconque d'équations différentielles. Imaginons un tube de courbes intégrales de ce système dépendant d'un paramètre a ; ce paramètre variera par exemple de o à /, la courbe intégrale correspondant à a = Z coïncidant avec celle qui correspond à a ^ o. Pour

exprimer que l'intégrale I wg étendue à une courbe fermée faisant le

de ce tube ne dépend pas de la courbe fermée choisie, nous imaginerons que les coordonnées a;, j, z, x', y', z', i d'un état quelconque du tube sont des fonctions du paramètre a et d'un autre paramètre «. En donnant à u une valeur fixe on aura une courbe fermée faisant le tour du tube. En se déplaçant le long d'une courbe intégrale du tube on aura

, dx dy dt

p désignant un facteur arbitraire qu'on pourra toujours choisir de manière à obtenir pour u = C' une succession quelconque donnée à Vavance de contours fermés faisant le tour du tube.

Cela posé l'intégrale 1=1 ws, dans laquelle on donne à a une valeur dé-

terminée, est une fonction de a, et, si on réserve le signe d à un déplacement qui ne fait varier que «, on a

dl = i mdx'^x -+• mdy'Sv -f- mdz'oz — dEBt -f- mx'd{5x) -\- my'd{ty)

-f- mz'd{8z) — Ed{U), ou, en échangeant l'ordre des différentiations d et 8 et intégrant par parties, dl = [nîx'dx -f- my'dy -+- mz'dz — EdfJQ

H- I {mdx'f>x -f- mdy'^y -h mdz'oz — dEô/ JG

— mdxhx' — mdyhy' — mdz^z' -+- dtàE).

La partie toute intégrée est manifestement nulle puisque le contour d'intégration est fermé. Quant à l'intégrale qui reste dans le second membre, il faut et il

suffit, pour que | wg soit un invariant intégral pour le système différentiel

considéré, que cette intégrale s'annule lorsqu'on y remplace respectivement

dx, dy, dz, dx', dy', dz', dt par

pX. pY, pZ, pX'. pY', pZ', pT,